Ре­ше­ние. У котла есть 2 ре­жи­ма ра­бо­ты. Пер­вый  — на­гре­ва­тель ра­бо­та­ет по­сто­ян­но, тем­пе­ра­ту­ра в котле мень­ше не­ко­то­ро­го T_m. Вто­рой  — тем­пе­ра­ту­ра в котле равна T_m, на­гре­ва­тель ра­бо­та­ет на под­дер­жа­ние тем­пе­ра­ту­ры (не­по­сто­ян­но). Рас­смот­рим ра­бо­ту котла в пер­вом ре­жи­ме. Мощ­ность на­гре­ва­те­ля P идёт на на­грев воды от тем­пе­ра­ту­ры T₀ до тем­пе­ра­ту­ры T < T_m. Если обо­зна­чить за рас­ход го­ря­чей воды в еди­ни­цу вре­ме­ни на од­но­го че­ло­ве­ка, то можно за­пи­сать:

где N  — ко­ли­че­ство людей, од­но­вре­мен­но при­ни­ма­ю­щих душ, c  — теплоёмкость воды. Вы­ра­зим T:

где   — не­ко­то­рая кон­стан­та, не за­ви­ся­щая от ко­ли­че­ства людей. Те­перь до­ста­точ­но найти чтобы опре­де­лить тем­пе­ра­ту­ру в котле, когда душ при­ни­ма­ют 6 че­ло­век. Рас­смот­рим два слу­чая, пред­став­лен­ные в усло­вии (N  =  3 и N  =  8):

Так как то один из слу­ча­ев со­от­вет­сву­ет ре­жи­му ра­бо­ты котла, при ко­то­ром на­гре­ва­тель ра­бо­та­ет на под­дер­жа­ние мак­си­маль­ной тем­пе­ра­ту­ры (не­по­сто­ян­но). Ясно, что это слу­чай N  =  3, так как ему со­от­вет­ству­ет боль­шая тем­пе­ра­ту­ра:

Тем­пе­ра­ту­ра в слу­чае N  =  7 мень­ше T_m, зна­чит, этот слу­чай со­от­вет­ству­ет ре­жи­му ра­бо­ты котла, при ко­то­ром на­гре­ва­тель ра­бо­та­ет по­сто­ян­но. Сле­до­ва­тель­но:

Найдём тем­пе­ра­ту­ру в котле, когда душ при­ни­ма­ют 6 че­ло­век, счи­тая, что на­гре­ва­тель ра­бо­та­ет по­сто­ян­но:

Это зна­че­ние мень­ше T_m, зна­чит, на­гре­ва­тель дей­стви­тель­но ра­бо­та­ет по­сто­ян­но, и можно поль­зо­вать­ся по­лу­чен­ной за­ви­си­мо­стью T(N).

Ответ: 76,7 °C.