РЕШУ ОЛИМП — физика

Задания

Герасим взял плотную прямоугольную дощечку и вбил в неё гвозди a, b, c, d, e. Гвозди a, b, c вбиты в середины сторон, гвозди d, e  — в углы дощечки. К гвоздям Герасим прикрепил шесть кусков проволоки, как показано на рисунке. Затем он стал медленно и равномерно опускать дощечку в проводящую жидкость, приложив разность потенциалов U между гвоздём a и жидкостью. Дощечка всё время расположена в вертикальной плоскости, отрезок de горизонтален. Схема погрузилась в жидкость целиком за время $2\tau.$ Найдите зависимость полного тока в цепи от времени t, прошедшего с начала погружения. Сопротивление каждого куска проволоки указано на рисунке (величина R известна). Проволока не покрыта изоляцией, каждый из её кусков имеет постоянную толщину. Сопротивление жидкости и гвоздей пренебрежимо мало. Дощечка не проводит ток.

Решение. По условию задачи точки d и e погрузятся в жидкость одновременно. До этого момента ток в цепи нулевой (цепь не замкнута). В момент погружения точек d и e их потенциал совпадает с потенциалом жидкости. Поэтому можно нарисовать эквивалентную схему, где эти точки объединены в одну, и упростить её (см. рис. 1, 2).

По мере дальнейшего погружения по части схемы, оказавшейся в жидкости, не течет ток, так как все точки жидкости по условию эквипотенциальны. Поэтому сопротивления, расположенные внизу, уменьшаются равномерно пропорционально времени t. Они полностью обращаются в ноль к моменту $t=\tau.$

Пусть $0 меньше или равно t \leqslant\tau.$ К этому моменту заштрихованные сопротивления (см. рис. 3) уменьшатся из-за погружения и станут равны $R левая круглая скобка 1 минус дробь: числитель: t, знаменатель: \tau конец дроби правая круглая скобка$ (левое) и $2R левая круглая скобка 1 минус дробь: числитель: t, знаменатель: \tau конец дроби правая круглая скобка$ (правое). Полное сопротивление этой схемы состоит из двух параллельно соединенных ветвей: левая ветка сопротивлением $R плюс R левая круглая скобка 1 минус дробь: числитель: t, знаменатель: \tau конец дроби правая круглая скобка = R левая круглая скобка 2 минус дробь: числитель: t, знаменатель: \tau конец дроби правая круглая скобка$ и правая ветка сопротивлением $R плюс 2R левая круглая скобка 1 минус дробь: числитель: t, знаменатель: \tau конец дроби правая круглая скобка = R левая круглая скобка 3 минус дробь: числитель: 2t, знаменатель: \tau конец дроби правая круглая скобка .$ Вычислив параллельное сопротивление такой схемы и разделив на него поданное на систему напряжение, получим:

$I левая круглая скобка t правая круглая скобка = дробь: числитель: U левая круглая скобка 5 минус дробь: числитель: 3 t, знаменатель: \tau конец дроби правая круглая скобка , знаменатель: R_0 левая круглая скобка 2 минус дробь: числитель: t, знаменатель: \tau конец дроби правая круглая скобка левая круглая скобка 3 минус дробь: числитель: 2 t, знаменатель: \tau конец дроби правая круглая скобка конец дроби .$

Если же $\tau меньше или равно t меньше или равно 2\tau,$ сопротивление заштрихованных сопротивлений успело обратится в ноль (к моменту $\tau$ ), а оставшиеся сопротивления (см рис. 4) убывают каждое пропорционально промежутку времени $t минус \tau$ по закону $R левая круглая скобка 1 минус дробь: числитель: t минус \tau, знаменатель: \tau конец дроби правая круглая скобка .$ Так как они одинаковы и соединены параллельно, полное сопротивление схемы в два раза меньше, и ответ приобретёт вид:

$I левая круглая скобка t правая круглая скобка = дробь: числитель: 2 U, знаменатель: R_0 конец дроби дробь: числитель: 1, знаменатель: левая круглая скобка 1 минус дробь: числитель: t минус \tau, знаменатель: \tau конец дроби правая круглая скобка конец дроби .$

Ответ: при $0 меньше или равно t\leqslant\tau : \quad I левая круглая скобка t правая круглая скобка = дробь: числитель: U левая круглая скобка 5 минус дробь: числитель: 3 t, знаменатель: \tau конец дроби правая круглая скобка , знаменатель: R_0 левая круглая скобка 2 минус дробь: числитель: t, знаменатель: \tau конец дроби правая круглая скобка левая круглая скобка 3 минус дробь: числитель: 2 t, знаменатель: \tau конец дроби правая круглая скобка конец дроби ;$ при $\tau меньше или равно t меньше или равно 2\tau : \quad I левая круглая скобка t правая круглая скобка = дробь: числитель: 2 U, знаменатель: R_0 конец дроби дробь: числитель: 1, знаменатель: левая круглая скобка 1 минус дробь: числитель: t минус \tau, знаменатель: \tau конец дроби правая круглая скобка конец дроби .$

№ п/п	№ задания	Ответ
1	195	при $0 меньше или равно t\leqslant\tau : \quad I левая круглая скобка t правая круглая скобка = дробь: числитель: U левая круглая скобка 5 минус дробь: числитель: 3 t, знаменатель: \tau конец дроби правая круглая скобка , знаменатель: R_0 левая круглая скобка 2 минус дробь: числитель: t, знаменатель: \tau конец дроби правая круглая скобка левая круглая скобка 3 минус дробь: числитель: 2 t, знаменатель: \tau конец дроби правая круглая скобка конец дроби ;$ при $\tau меньше или равно t меньше или равно 2\tau : \quad I левая круглая скобка t правая круглая скобка = дробь: числитель: 2 U, знаменатель: R_0 конец дроби дробь: числитель: 1, знаменатель: левая круглая скобка 1 минус дробь: числитель: t минус \tau, знаменатель: \tau конец дроби правая круглая скобка конец дроби .$

Ключ