РЕШУ ОЛИМП — физика

Задания

Клоун Вайз решил исследовать карусель  — диск, который можно раскручивать вокруг вертикальной оси ОO′. Он поставил на карусель с противоположных сторон от OO′ на равном расстоянии R от оси два одинаковых тонких столбика (см. рис.). Связав верхушки столбиков лёгкой нерастяжимой нитью длиной 2R, Вайз раскрутил карусель до угловой скорости $\omega.$ При каком значении коэффициента трения столбики останутся стоять на раскрученной карусели? Считайте, что вся масса столбика сосредоточена на его концах: на верхнем конце 30%, а на нижнем 70%. Ускорение свободного падения g.

Решение. Найдём критическое значение коэффициента трения, при котором столбик AB начал проскальзывать, но всё еще не соскользнул с карусели.

На рисунке показаны силы, действующие на столбик во вращающейся системе отсчета (в которой столбик покоится). Сила тяжести mg столбика и равная ей, но направленная вверх сила реакции карусели N не показаны, так как они тривиально уравновешиваются, N  =  mg. Отметим только, что сила тяжести приложена к центру масс столбика С.

Кроме N и mg на столбик действуют сила натяжения нити T, сила трения $\mu N=\mu mg.$ Вдобавок, так как карусель вращается, к центру масс столбика С приложена центробежная сила $m\omega в квадрате R,$ которая направлена от оси карусели наружу.

Чтобы столбик не съезжал, следует записать условие равенства сил в проекции на горизонтальную ось: $T плюс \mu mg = m\omega в квадрате R.$

Кроме того, столбик не должен вращаться, то есть для него должно выполняться правило рычага. Наиболее просто записать его относительно центра масс столбика  — точки C. Для этого сообразим, что AC : CB  =  7 : 3, поэтому можно обозначить AC  =  7x, BC  =  3x, так что правило рычага приобретёт вид $\mu mg умножить на 3x=T умножить на 7 x,$ откуда величина x, конечно, сократится.

Мы получили систему уравнений

$система выражений T плюс \mu mg=m\omega в квадрате R,3\mu mgx = 7T, конец системы .$

решая которую, получим ответ.

Ответ: $\mu\geqslant0,7\omega в квадрате R/g.$

№ п/п	№ задания	Ответ
1	197	$\mu\geqslant0,7\omega в квадрате R/g.$

Ключ