Ре­ше­ние. Вве­дем рас­сто­я­ния a и b, см. рис. 17, по­ка­зы­ва­ю­щие, как рас­по­ло­же­ны порш­ни в трубе. Сила F долж­на ском­пен­си­ро­вать силу дав­ле­ния воды на ниж­ний пор­шень, по­это­му

Об­ра­ти­те вни­ма­ние, что при не­ну­ле­вом a эта сила боль­ше веса жид­ко­сти в трубе. Точно такую же силу ока­зы­ва­ла бы на дно со­су­да вода в объёме, ко­то­рый по­ка­зан го­лу­бым на ри­сун­ке. Этот факт на­зы­ва­ет­ся «‎гид­ро­ста­ти­че­ский па­ра­докс», он свя­зан с тем, что жид­кость как-бы «рас­пи­ра­ет» в со­су­де, при этом она ока­зы­ва­ет дав­ле­ние вниз, боль­шее сво­е­го веса, за счёт того, что ей же при­хо­дит­ся ока­зы­вать дав­ле­ние на сосуд вверх (и, ко­неч­но, вбок тоже, см. рис. 18).

Также сле­ду­ет за­пи­сать фор­му­лу, свя­зы­ва­ю­щую фо­кус­ное рас­сто­я­ние f оп­ти­че­ской си­сте­мы, рас­по­ло­же­ние ис­точ­ни­ка света от­но­си­тель­но линзы (он на­хо­дит­ся на рас­сто­я­нии a + b от неё) и рас­по­ло­же­ние изоб­ра­же­ния (обо­зна­чим рас­сто­я­ние от него до линзы за x):

Вы­ра­жая a + b из пер­во­го урав­не­ния и под­став­ляя в фор­му­лу тон­кой линзы, по­лу­чим ответ:

Можно со­об­ра­зить, какой гра­фик этой за­ви­си­мо­сти. При ве­ли­чи­на x об­ра­ща­ет­ся в бес­ко­неч­ность. При «пе­ре­ско­ке» через зна­че­ние F_кр зна­ме­на­тель от­ве­та ме­ня­ет знак, а изоб­ра­же­ние из дей­стви­тель­но­го ста­но­вит­ся мни­мым.

Фор­маль­но, при очень боль­ших F (равно как и при боль­ших от­ри­ца­тель­ных F ) в зна­ме­на­те­ле можно пре­не­бречь ве­ли­чи­ной так что ответ при при­бли­жа­ет­ся к f.

Такое по­ве­де­ние функ­ций хо­ро­шо из­вест­но, это сдви­ну­тая ги­пер­бо­ла (см. рис. 19). В по­след­нем факте можно убе­дить­ся и иначе – пред­ста­вив ответ в виде

ко­то­рый по­ка­зы­ва­ет, что от­но­си­тель­но сдви­ну­тых пе­ре­мен­ных x − f и F − F_кр это дей­стви­тель­но ги­пер­бо­ла. Од­на­ко, стоит за­дать­ся во­про­сом: все ли зна­че­ния F до­пу­сти­мы на нашем гра­фи­ке? Ведь не при любом зна­че­нии F си­сте­ма будет на­хо­дить­ся в рав­но­ве­сии! В част­но­сти, при ниж­ний пор­шень про­сто упрётся в сосуд и даль­ней­шее уве­ли­че­ние силы F не будет при­во­дить к из­ме­не­нию по­ло­же­ний порш­ней. Ана­ло­гич­но, если сила F про­сто не смо­жет удер­жать порш­ни от па­де­ния, и рав­но­ве­сие, опи­сан­ное в за­да­че, не­воз­мож­но.

По­это­му «‎на­ив­ный» гра­фик 19 нужно ис­пра­вить: при F > F_max за­ме­нить его кон­стан­той, а об­ласть F < F_min со­всем убрать. Так как мы не знаем чис­лен­ных зна­че­ний па­ра­мет­ров за­да­чи, при этом могут по­лу­чить­ся самые раз­ные типы гра­фи­ков (см. рис. 20).

Ответ: Гра­фик имеет вид об­ре­зан­ной ги­пер­бо­лы: если или же при При мень­ших зна­че­ни­ях F рав­но­ве­сие не­воз­мож­но.