Ре­ше­ние. На­гре­ва­тель, най­ден­ный в ванне Опи­шем уста­но­вив­ший­ся режим в этой си­сте­ме ка­че­ствен­но. Тем­пе­ра­ту­ра не опус­ка­ет­ся ниже T₁, но на­гре­ва­тель не может ра­бо­тать доль­ше ми­ну­ты при тем­пе­ра­ту­ре выше T₁. Зна­чит, на­гре­ва­тель дол­жен вклю­чать­ся, когда тем­пе­ра­ту­ра ста­но­вит­ся ровно T₁, а сле­ду­ю­щие t_нагр.  =  60 с ра­бо­тать «по инер­ции». После этого на­гре­ва­тель вы­клю­ча­ет­ся, и про­ис­хо­дит осты­ва­ние воды об­рат­но до T₁ за время t_ост.  =  80 с. Затем про­цесс по­вто­ря­ет­ся.

Пе­рейдём к ко­ли­че­ствен­но­му опи­са­нию про­цес­са. Обо­зна­чим мощ­ность на­гре­ва­те­ля за P, пол­ную теплоёмкость си­сте­мы (ванна + вода) за C, а мак­си­маль­ную тем­пе­ра­ту­ру в уста­но­вив­шем­ся ре­жи­ме за T₂. По усло­вию, мощ­ность теп­ло­по­терь про­пор­ци­о­наль­на раз­но­сти тем­пе­ра­ту­ры ванны T и окру­жа­ю­щей среды T₀, то есть можем за­пи­сать где   — не­ко­то­рый раз­мер­ный ко­эф­фи­ци­ент. За­ме­тим, что если на­грев от T₀ до T₁ занял не­сколь­ко часов, а мы рас­смат­ри­ва­ем про­ме­жут­ки ра­бо­ты на­гре­ва­те­ля по­ряд­ка 1 ми­ну­ты, то пе­ри­о­ди­че­ские из­ме­не­ния тем­пе­ра­ту­ры в уста­но­вив­шем­ся ре­жи­ме будут много мень­ше T₁ − T₀. Это зна­чит, что мощ­ность теп­ло­по­терь будет мало от­ли­чать­ся от сво­е­го зна­че­ния при T₁, то есть в уста­но­вив­шем­ся ре­жи­ме её можно счи­тать по­сто­ян­ной. За­пи­шем урав­не­ния теп­ло­во­го ба­лан­са для мощ­но­стей:

где t_нагр.  =  60 с, t_ост 80 с. Пусть без тер­мо­дат­чи­ка на­гре­ва­тель под­дер­жи­ва­ет тем­пе­ра­ту­ру T₃. В этом ре­жи­ме мощ­ность теп­ло­по­терь равна мощ­но­сти на­гре­ва­те­ля, то есть С дру­гой сто­ро­ны, При­рав­ни­ва­ем и вы­ра­жа­ем T₃:

Ответ: 55 °C.