Ре­ше­ние. Рас­смот­рим сна­ча­ла лест­ни­цу в си­ту­а­ции, когда её ло­ма­ют (см. рис. 1, слева). Опре­де­лим мо­мен­ты дей­ству­ю­щих на неё сил от­но­си­тель­но точки О.

По усло­вию лест­ни­ца ло­ма­ет­ся, когда мо­мент силы, при­ло­жен­ной к вер­ти­каль­но­му от­рез­ку лест­ни­цы равен M_кр  =  F₀h (мо­мент  — про­из­ве­де­ние ло­ма­ю­щей силы на её плечо). Этот мо­мент стре­мит­ся по­вер­нуть лест­ни­цу  — как еди­ное целое  — про­тив ча­со­вой стрел­ки во­круг точки О. Од­но­вре­мен­но к го­ри­зон­таль­но­му от­рез­ку лест­ни­цы при­ло­же­на со сто­ро­ны пола не­ко­то­рая сила с таким же вра­ща­ю­щим мо­мен­том, но про­ти­во­по­лож­но на­прав­лен­ным (по ча­со­вой стрел­ке). Это пре­пят­ству­ет по­во­ро­ту лест­ни­цы про­тив ча­со­вой стрел­ки. Оба мо­мен­та ком­пен­си­ру­ют друг друга. Од­на­ко оба они «стре­мят­ся раз­вер­нуть» пря­мой угол лест­ни­цы (пре­вра­тив его в тупой). Как толь­ко про­ти­во­бор­ству­ю­щие мо­мен­ты до­сти­га­ют M_кр, в точке О про­ис­хо­дил раз­лом.

Изоб­ра­зим те­перь силы, дей­ству­ю­щие на лест­ни­цу, когда по ней идёт че­ло­век (см. рис. 1): N₁, N₂  — силы ре­ак­ции пола и P  =  mg  — вес че­ло­ве­ка. На рис. 1 (внизу) также от­ме­че­ны длины от­рез­ков тре­уголь­ни­ка, най­ден­ные из гео­мет­ри­че­ских со­об­ра­же­ний. Пусть че­ло­век рас­по­ла­га­ет­ся на рас­сто­я­нии x по го­ри­зон­та­ли от точки В (пред­по­ло­жим пока, что он пра­вее точки О, то есть что ). Усло­вие того, что лест­ни­ца не вра­ща­ет­ся как еди­ное целое от­но­си­тель­но точки В даёт:

Здесь мы учли, что плечо силы mg от­но­си­тель­но этой точки равно x, плечо силы N₁ равно l, а плечо силы N₂  — нулю.

От­но­си­тель­но точки О мо­мент силы N₁, равен Этот мо­мент пы­та­ет­ся вра­щать всю лест­ни­цу по ча­со­вой стрел­ке. Ему про­ти­во­дей­ству­ют мо­мен­ты двух осталь­ных сил, N₂ и mg, при­ло­жен­ные к дру­го­му от­рез­ку лест­ни­цы. Сум­мар­ный мо­мент сил N₂ и mg тоже равен M (но на­прав­лен про­тив ча­со­вой стрел­ки). Оче­вид­но, как и в пер­вом слу­чае, каж­дый из мо­мен­тов M, при­ло­жен­ных к раз­ным от­рез­кам лест­ни­цы, за­ни­ма­ет­ся тем, что ”пы­та­ет­ся пре­вра­тить” пря­мой угол лест­ни­цы в тупой. Ком­пен­си­ро­вать друг друга они могут толь­ко пока каж­дый из них не пре­взойдёт Mкр.

С ро­стом x ве­ли­чи­на M растёт и при­ни­ма­ет мак­си­маль­ное зна­че­ние при Как раз в этот мо­мент че­ло­век на­хо­дит­ся в точке О. Чтобы он не сло­мал лест­ни­цу в этот мо­мент, нужно, чтобы вы­пол­ня­лось M < M_кр, т. е. не­ра­вен­ство от­ку­да

Нам оста­лось лишь рас­смот­реть си­ту­а­цию, когда че­ло­век на­хо­дит­ся левее точки О. Оче­вид­но, этот слу­чай такой же: до­ста­точ­но от­счи­ты­вать x от точки А, по­ме­нять ме­ста­ми в наших фор­му­лах N₁ и N₂, а за­ме­нить на Оче­вид­но, наше не­ра­вен­ство при этом не ме­ня­ет­ся, как не ме­ня­ет­ся и ответ. От­ме­тим, что ис­кать ре­ше­ние не­ра­вен­ства можно через квад­рат­ное урав­не­ние от­но­си­тель­но

Ответ: Угол (наи­мень­ший ост­рый угол L-об­раз­ной лест­ни­цы) не дол­жен пре­вос­хо­дить зна­че­ние