Ре­ше­ние. Ско­рость всех бу­си­нок при подлёте к земле будет прак­ти­че­ски оди­на­ко­ва (ведь их раз­ме­ра­ми можно пре­не­бречь  — все они па­да­ли при­мер­но с одной вы­со­ты). Обо­зна­чим эту ско­рость V. Будем ну­ме­ро­вать бу­син­ки снизу вверх.

Сна­ча­ла о землю уда­рит­ся самая ниж­няя (пер­вая) бу­син­ка, от­ско­чив упру­го от земли со ско­ро­стью V, она стук­нет вто­рую (ко­то­рая в этот мо­мент ещё летит вниз со ско­ро­стью V), та  — тре­тью и т. д. Так как удары аб­со­лют­но упру­гие, бу­син­ки будут об­ме­ни­вать­ся энер­ги­ей и им­пуль­сом. Со­от­вет­ству­ю­щие урав­не­ния вклю­ча­ют в себя массы этих бу­си­нок, ко­то­рые по усло­вию не даны. Нам нужно, чтобы в ре­зуль­та­те удара верх­няя бу­син­ка по­лу­чи­ла мак­си­маль­ную ско­рость. Рас­смот­рим со­уда­ре­ния пер­вой и вто­рой бу­син­ки (см. рис. a). По­нят­но, что вто­рая бу­син­ка по­лу­чит боль­шую ско­рость, если она лёгкая, а бью­щая по ней снизу  — тяжёлая. Если вто­рая бу­син­ка бес­ко­неч­но более лёгкая по срав­не­нию с пер­вой, она от­ско­чит от неё по за­ко­нам со­хра­не­ния энер­гии и им­пуль­са, слов­но уда­рив­шись о дви­жу­щу­ю­ся стен­ку, то есть будет иметь ско­рость 3V. Это легко опре­де­лить в си­сте­ме отсчёта (СО) пер­вой бу­син­ки (см. рис. б): в ней вто­рая бу­син­ка на­ле­та­ет на первую (не­по­движ­ную в этой СО) со ско­ро­стью 2V и с такой же ско­ро­стью от­ска­ки­ва­ет (ско­рость упру­го­го от­ско­ка от не­по­движ­ной тяжёлой стен­ки хо­ро­шо из­вест­на даже без вы­пи­сы­ва­ния за­ко­нов со­хра­не­ния). Вер­нув­шись в не­по­движ­ную си­сте­му отсчёта (см. рис. в) об­на­ру­жим, что вто­рая бу­син­ка по­ле­те­ла в этой СО вверх со ско­ро­стью 3V.

Ра­зу­ме­ет­ся, этот же ре­зуль­тат можно по­лу­чить, вы­брав бу­син­ки про­из­воль­ной массы, за­пи­сав ЗСЭ и ЗСИ и убе­див­шись, что при любом со­от­но­ше­нии масс ско­рость от­ско­ка не пре­вос­хо­дит 3V.

На ри­сун­ке в вто­рая бу­син­ка, ле­тя­щая вверх, на­тал­ки­ва­ет­ся на тре­тью и бьёт по ней снизу. По­нят­но, что тре­тья по­ле­тит вверх с мак­си­маль­но боль­шой ско­ро­стью, если она (тре­тья бу­син­ка) бес­ко­неч­но более лёгкая по срав­не­нию со вто­рой. Тогда она снова от­ско­чит от ниж­ней (вто­рой) бу­син­ки как от по­движ­ной стен­ки и будет иметь при этом ско­рость (см. рис. г,д) 7V.

Про­дол­жая рас­смат­ри­вать со­уда­ре­ния бу­си­нок, таких, что каж­дая по­сле­ду­ю­щая бу­син­ка го­раз­до легче преды­ду­щей, мы по­лу­чим, что n-ая будет после от­ско­ка иметь ско­рость (2ⁿ − 1)V. Этот факт можно до­ка­зать стро­го, на­при­мер, по ин­дук­ции. Так как у Илона Маска самая верх­няя бу­син­ка от­ле­те­ла со ско­ро­стью 512 − 1 < 800 < 1024 − 1, или же 2⁹ − 1 < 800 < 2¹⁰ − 1, то число бу­си­нок долж­но было быть не менее 10.

За­ме­тим, что даже Илон Маск не может брать бу­син­ки, массы ко­то­рых от­ли­ча­ют­ся в бес­ко­неч­ное число раз. Од­на­ко, это ему и не тре­бу­ет­ся, ведь с де­ся­тью бу­син­ка­ми ему нужно до­бить­ся уве­ли­че­ния ско­ро­сти не в 1023, а толь­ко в 800 раз. В пред­по­ло­же­нии (от­нюдь не самом вы­год­ном!), что со­сед­ние бу­син­ки от­ли­ча­ют­ся в оди­на­ко­вое число раз, можно найти не­об­хо­ди­мое от­но­ше­ние масс со­сед­них бу­си­нок, а также при­ки­нуть, во сколь­ко раз самая тя­же­лая бу­син­ка тя­же­лее самой лег­кой. Это са­мо­сто­я­тель­ное упраж­не­ние поз­во­лит вам впе­чат­лить­ся сто­и­мо­стью экс­пе­ри­мен­та вме­сте с Ило­ном Мас­ком.

Также от­ме­тим, что для до­сти­же­ния кос­ми­че­ских высот в усло­вии за­да­чи до­ста­точ­но сбра­сы­вать бу­син­ки с вы­со­ты всего 10 мет­ров. Такой ин­ту­и­тив­но не­оче­вид­ный ответ свя­зан с тем, что при столк­но­ве­нии бу­си­нок про­ис­хо­дит ку­му­ля­тив­ное на­коп­ле­ние им­пуль­са у самой верх­ней бу­син­ки, ко­то­рый уве­ли­чи­ва­ет­ся в гео­мет­ри­че­ской про­грес­сии с ро­стом числа бу­си­нок.

Ответ: 10 бу­си­нок в пре­не­бре­же­нии сто­и­мо­стью экс­пе­ри­мен­та.