РЕШУ ОЛИМП — физика

Задания

В вертикальном сосуде переменного сечения расположены два поршня площадью S₁ и S₂ (см. рис.). Под нижним поршнем находится одноатомный идеальный газ, между поршнями  —  несжимаемая жидкость. Система находится в состоянии равновесия. Определите теплоёмкость системы, если верхний и нижний поршни находятся на высоте h₁ и h₂ от дна сосуда, соответственно. Количество газа $\nu,$ теплоёмкость жидкости C_ж, плотность жидкости $\rho,$ атмосферное давление p₀, ускорение свободного падения g, универсальная газовая постоянная R. Весом поршней, трением о стенки сосуда, теплоёмкостью поршней и сосуда пренебречь.

Решение. Если в результате передачи системе малого количества теплоты $\Delta Q$ её температура возрастает на $\Delta T,$ то, по определению, теплоёмкость системы есть $C = \Delta Q/\Delta T.$ Найдём теплоёмкость системы из условия задачи.

Система включает идеальный газ и жидкость, которые пребывают в тепловом равновесии. Переданное системе тепло $\Delta Q$ распределяется между газом и жидкостью таким образом, чтобы в итоге тепловое равновесие не нарушилось. Для нагрева жидкости на $\Delta T$ необходимо затратить тепло $\Delta Q_ж = C_ж\DeltaT.$ Таким образом, газ получает тепло $\Delta Q_г = \Delta Q минус \Delta Q_ж.$ Согласно первому началу термодинамики, переданное газу тепло идет на работу против внешних сил $\Delta A$ и на изменение его внутренней энергии $\Delta U,$ $\Delta Q_г=\Delta A плюс \Delta U.$ Для одноатомного идеального газа $\Delta U= дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби \nu RT.$ Разберёмся с работой газа. Давление газа складывается из давления атмосферы и гидростатического давления жидкости, $p_г = p_0 плюс \rho g левая круглая скобка h_1 минус h_2 правая круглая скобка .$ При малом перемещении нижнего поршня на $\Delta h_2$ объём газа изменяется на $\Delta V_г = S_2\Delta h_2,$ при этом он совершает работу $\Delta A = p_г\Delta V_г = p_гS_2\Delta h_2.$

Необходимо найти связь между изменением высоты поршня $\Delta h_2$ и приращением температуры $\Delta T.$ Выпишем уравнение состояния газа “до” передачи ему тепла

$p_г V_г= левая квадратная скобка p_0 плюс \rho g левая круглая скобка h_1 минус h_2 правая круглая скобка правая квадратная скобка S_2 h_2=\nu R T \quad левая круглая скобка 1 правая круглая скобка ,$

где T  — начальная температура газа. Уравнение состояния “после” передачи тепла имеет вид

$левая квадратная скобка p_0 плюс \rho g левая круглая скобка h_1 плюс \Delta h_1 минус h_2 минус \Delta h_2 правая круглая скобка правая квадратная скобка S_2 левая круглая скобка h_2 плюс \Delta h_2 правая круглая скобка =\nu R левая круглая скобка T плюс \Delta T правая круглая скобка \quad левая круглая скобка 2 правая круглая скобка ,$

где $\Delta h_1$   — изменение высоты верхнего поршня. Рассмотрим разницу уравнений (1) и (2), отбрасывая величины второго порядка малости:

$\rho g левая круглая скобка \Delta h_1 минус \Delta h_2 правая круглая скобка S_2 h_2 плюс левая квадратная скобка p_0 плюс \rho g левая круглая скобка h_1 минус h_2 правая круглая скобка правая квадратная скобка S_2 \Delta h_2=\nu R \Delta T.$

Поскольку жидкость несжимаемая, её объем остается постоянным и равным

$V_ж=S_1 левая круглая скобка h_1 минус H правая круглая скобка плюс S_2 левая круглая скобка H минус h_2 правая круглая скобка =S_1 левая круглая скобка h_1 плюс \Delta h_1 минус H правая круглая скобка плюс S_2 левая круглая скобка H минус h_2 плюс \Delta h_2 правая круглая скобка ,$

где H  — высота нижней части сосуда. Таким образом, $S_1 \Delta h_1=S_2 \Delta h_2.$ Собрав все уравнения вместе, получаем окончательный ответ для теплоёмкости:

$C=C_\text ж плюс дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби \nu R плюс дробь: числитель: p_0 плюс \rho g левая круглая скобка h_1 минус h_2 правая круглая скобка , знаменатель: p_0 плюс \rho g левая квадратная скобка левая круглая скобка дробь: числитель: S_2, знаменатель: S_1 конец дроби минус 2 правая круглая скобка h_2 плюс h_1 правая квадратная скобка конец дроби \nu R\quad левая круглая скобка 3 правая круглая скобка .$

Ответ: Теплоёмкость системы задаётся выражением (3).

№ п/п	№ задания	Ответ
1	230	Теплоёмкость системы задаётся выражением (3).

Ключ