Ре­ше­ние. 1.  Из за­ко­на со­хра­не­ния им­пуль­са или От­пус­кая пер­вый шар с вы­со­ты h₀, после со­уда­ре­ния шары под­ни­мут­ся на вы­со­ты h₁ и h₂. Для опре­де­ле­ния высот при малых углах удоб­нее и точ­нее фик­си­ро­вать го­ри­зон­таль­ное сме­ще­ние ша­ри­ков на­хо­дя вы­со­ты с по­мо­щью тео­ре­мы Пи­фа­го­ра, зная вер­ти­каль­ное рас­сто­я­ние от цен­тров ша­ри­ков до плос­ко­сти креп­ле­ния нитей l.

Из за­ко­на со­хра­не­ния энер­гии

Под­став­ляя в закон со­хра­не­ния им­пуль­са, ко­то­рый вы­пи­сан выше, по­лу­чим тогда

Если l << x, то

2.  От­кло­няя два оди­на­ко­вых ша­ри­ка на рав­ные рас­сто­я­ния от по­ло­же­ния рав­но­ве­сия, и стал­ки­вая их, от­ме­тим, на какие рас­сто­я­ния они от­ско­чат от по­ло­же­ния рав­но­ве­сия после удара.

При малых углах

3.  Мо­де­ли аб­со­лют­но упру­го­го и аб­со­лют­но не­упру­го­го со­уда­ре­ний яв­ля­ют­ся край­ни­ми слу­ча­я­ми ча­стич­но упру­го­го со­уда­ре­ния, при ко­то­ром часть энер­гии пе­ре­хо­дит в теп­ло­вую форму. Для опи­са­ния об­ще­го слу­чая не впол­не упру­го­го удара Нью­то­ном был вве­ден ко­эф­фи­ци­ент вос­ста­нов­ле­ния ско­ро­сти шара. Нор­маль­ный ко­эф­фи­ци­ент вос­ста­нов­ле­ния ско­ро­сти опре­де­ля­ют как от­но­ше­ние нор­маль­ной со­став­ля­ю­щей ско­ро­сти ка­са­ю­щей­ся по­верх­но­сти шара после от­ско­ка от не­по­движ­ной аб­со­лют­но жест­кой стен­ки к со­став­ля­ю­щей ско­ро­сти шара до удара, взя­то­му с об­рат­ным зна­ком k  =  −u/v.

Если после со­уда­ре­ния форма шара пол­но­стью вос­ста­нав­ли­ва­ет­ся, то k  =  1, по­те­ри энер­гии от­сут­ству­ют и удар аб­со­лют­но упру­гий. Если после со­уда­ре­ния шар оста­ет­ся сплю­щен­ным и при­ли­па­ет к стене, то удар аб­со­лют­но не­упру­гий.

В си­сте­ме от­сче­та, свя­зан­ной с цен­тром масс со­уда­ря­ю­щих­ся шаров, можно счи­тать, что каж­дый шар на­ле­та­ет на не­по­движ­ную аб­со­лют­но жест­кую стен­ку, и можно вве­сти нор­маль­ные ко­эф­фи­ци­ен­ты вос­ста­нов­ле­ния k₁  =  −u₁/v₁, k₂  =  −u₂/v₂.

Пусть дви­жу­щий­ся пер­вый шар на­ле­та­ет на вто­рой по­ко­я­щий­ся шар. Рас­смот­рим удар в си­сте­ме от­сче­та, свя­зан­ной с цен­тром масс со­уда­ря­ю­щих­ся тел. Ско­рость цен­тра масс v_c  =  m₁v₁/(m₁ + m₂).

Пе­ре­хо­дя в си­сте­му от­сче­та, свя­зан­ную с цен­тром масс,

Вы­чис­ляя ско­ро­сти после со­уда­ре­ния, имеем

В си­сте­ме цен­тра масс сум­мар­ный им­пульс равен нулю. Из за­ко­на со­хра­не­ния им­пуль­са после со­уда­ре­ния по­лу­ча­ем, что k₁  =  k₂  =  k.

Воз­вра­ща­ясь в ис­ход­ную не­по­движ­ную си­сте­му от­сче­та, имеем

При от­кло­не­нии при­вя­зан­но­го к нити пер­во­го шара от по­ло­же­ния рав­но­ве­сия на угол его по­тен­ци­аль­ная энер­гия пе­ре­хо­дит в ки­не­ти­че­скую:

После со­уда­ре­ния ки­не­ти­че­ская энер­гия каж­до­го из шаров пе­ре­хо­дит в по­тен­ци­аль­ную энер­гию.

От­сю­да можем найти ко­эф­фи­ци­ен­ты вос­ста­нов­ле­ния для каж­до­го из шаров

Зна­че­ние k может быть най­де­но по любой из фор­мул (1) или (2).

При малых углах

Ответ: 1) 2) 3)