Ре­ше­ние. Во­об­ще го­во­ря, при уста­но­вив­ших­ся ко­ле­ба­ни­ях в пру­жи­не будут на­блю­дать­ся сто­я­чие волны упру­го­сти. В месте креп­ле­ния пру­жи­ны у этих ко­ле­ба­ний будет узел. Од­на­ко ука­за­но, что длина волны этих ко­ле­ба­ний ве­ли­ка по срав­не­нию с дли­ной пру­жи­ны. Это озна­ча­ет, что ве­ли­чи­на го­ри­зон­таль­но­го сме­ще­ния u каж­до­го эле­мен­та пру­жи­ны будет ли­ней­но за­ви­сеть от го­ри­зон­таль­но­го по­ло­же­ния этого эле­мен­та z:

где h  — длина пру­жи­ны, A  — ам­пли­ту­да ко­ле­ба­ний груза (конца пру­жи­ны). Этот закон со­от­вет­ству­ет од­но­род­но­му рас­тя­же­нию пру­жи­ны по длине. Если A из­ме­ня­ет­ся во вре­ме­ни, то ки­не­ти­че­ская энер­гия дви­же­ния пру­жи­ны равна

В этом вы­ра­же­нии от­но­ше­ние m/h можно вос­при­ни­мать как мас­со­вую по­гон­ную плот­ность пру­жи­ны. Те­перь уста­но­вить ча­сто­ту ко­ле­ба­ний. Для этого за­пи­шем ки­не­ти­че­скую T и по­тен­ци­аль­ную энер­гии ко­ле­ба­ний:

Ча­сто­та ко­ле­ба­ний равна корню из от­но­ше­ния ко­эф­фи­ци­ен­тов при (dA/dt)² и A²:

ис­поль­зуя эту фор­му­лу сна­ча­ла для ва­ри­ан­та с гру­зом, а потом без него, по­лу­ча­ем, что m  =  M.

Ответ: m  =  M.