Ре­ше­ние. Обо­зна­чим точку встре­чи кос­мо­нав­та и асте­ро­и­да через O (см. верх­ний рис.):

Спер­ва най­дем ско­рость u, с ко­то­рой кос­мо­навт дол­жен от­толк­нуть­ся от кос­ми­че­ской стан­ции, чтобы во­вре­мя до­ле­теть до пря­мой AB. При­рав­ня­ем вре­ме­на по­ле­та

За­ме­тим, что В про­тив­ном слу­чае кос­мо­навт ни при какой ско­ро­сти u не смо­жет до­брать­ся до асте­ро­и­да.

Ис­поль­зуя закон со­хра­не­ния им­пуль­са, вы­ра­зим ско­рость V сов­мест­но­го дви­же­ния кос­мо­нав­та и асте­ро­и­да после столк­но­ве­ния. В про­ек­ции на оси си­сте­мы ко­ор­ди­нат, по­ка­зан­ной на верх­нем ри­сун­ке, имеем:

Таким об­ра­зом, ско­рость кос­мо­нав­та и асте­ро­и­да после столк­но­ве­ния равна

Рас­смот­рим, как ори­ен­ти­ро­ван век­тор ско­ро­сти. Для этого вы­чис­лим угол (см. верх­ний рис.):

Если то и угол При этом кос­мо­навт и асте­ро­ид уда­ля­ют­ся от стан­ции. Оче­вид­но, что для воз­вра­ще­ния на стан­цию не­об­хо­ди­мо по­га­сить весь им­пульс. После этого бес­ко­неч­но малый им­пульс в на­прав­ле­нии стан­ции поз­во­лит вер­нуть­ся назад. Таким об­ра­зом, ми­ни­маль­ный не­об­хо­ди­мый им­пульс равен Если то есть кос­мо­навт пры­га­ет "по на­прав­ле­нию" дви­же­ния асте­ро­и­да, то воз­ни­ка­ет ана­ло­гич­ная си­ту­а­ция: после столк­но­ве­ния они про­дол­жа­ют уда­лять­ся от стан­ции. Сле­до­ва­тель­но, при ответ вновь

Рас­смот­рим более де­таль­но слу­чай Срав­ним углы и для чего решим не­ра­вен­ство

По­лу­ча­ем, что если то есть вы­пол­ня­ет­ся усло­вие Дан­ная си­ту­а­ция изоб­ра­же­на на ниж­нем ри­сун­ке п. а). Видно, что в этом слу­чае у ско­ро­сти V есть со­став­ля­ю­щая, на­прав­лен­ная к стан­ции. А зна­чит, для воз­вра­ще­ния на стан­цию до­ста­точ­но по­га­сить толь­ко пер­пен­ди­ку­ляр­ную со­став­ля­ю­щую пол­но­го им­пуль­са. Пол­ный им­пульс равен век­тор­ной сумме им­пуль­сов кос­мо­нав­та и асте­ро­и­да до столк­но­ве­ния. Со­став­ля­ю­щую, пер­пен­ди­ку­ляр­ную пря­мой CO, до столк­но­ве­ния имел толь­ко асте­ро­ид. Сле­до­ва­тель­но, ми­ни­маль­ное не­об­хо­ди­мое из­ме­не­ние им­пульсa равно

В про­тив­ном слу­чае, или изоб­ра­жен­ном на ниж­нем ри­сун­ке п. б), после столк­но­ве­ния кос­мо­навт и асте­ро­ид опять уда­ля­ют­ся от стан­ции, и ответ

В за­клю­че­нии за­ме­тим, что если ско­рость V на­прав­ле­на таким об­ра­зом, что кос­мо­навт и асте­ро­ид уда­ля­ют­ся от стан­ции, то без раз­ни­цы, когда имен­но кос­мо­навт ис­поль­зу­ет ре­ак­тив­ный рюк­зак. На­про­тив, если имеет место сбли­же­ние со стан­ци­ей, то из­ме­не­ние им­пуль­са не­об­хо­ди­мо вы­пол­нить сразу после столк­но­ве­ния в точке O. Если им­пульс не из­ме­нить в точке О, то при дви­же­нии со ско­ро­стью V на­прав­ле­ние на стан­цию будет из­ме­ня­ет­ся, а угол \alpha;(t) эф­фек­тив­но умень­шать­ся, а зна­чит, будет уве­ли­чи­вать­ся. Так будет про­ис­хо­дить до тех пор, пока кос­мо­навт и асте­ро­ид не прой­дут точку мак­си­маль­но­го сбли­же­ния со стан­ци­ей (при этом после этого они нач­нут уда­лять­ся.

Ответ: если или то ми­ни­маль­ное не­об­хо­ди­мое из­ме­не­ние им­пуль­са со­став­ля­ет если то При кос­мо­навт не встре­тит­ся с асте­ро­и­дом. Ско­рость V за­да­на в урав­не­нии (4), где ско­рость u опре­де­ле­на в урав­не­нии (1).