РЕШУ ОЛИМП — физика

Задания

Если жёсткое кольцо, насаженное на вертикальный стержень, быстро закрутить, то некоторое время оно практически не будет спускаться вниз вопреки действию силы тяжести. Пусть радиус стержня равен a, радиус кольца равен R > a, толщина кольца пренебрежимо мала. Кольцо, касаясь внутренней стороной поверхности стержня, вращается с проскальзыванием, центр кольца при этом движется по окружности радиуса R − a с центром на оси стержня (см. рис). Коэффициент трения между внутренней поверхностью кольца и поверхностью стержня равен $\mu.$ В данный момент кольцо вращается с некоторой угловой скоростью $\omega.$

1.  Сначала пренебрегите силой тяжести, действующей на кольцо, и найдите скорость его центра масс, силу реакции опоры и силу трения, действующие со стороны стержня на кольцо.

2.  Пока сила тяжести мала по сравнению с силой трения, действие гравитации можно рассматривать как малую поправку, противодействие которой слабо отклоняет силу трения от горизонтального направления. Чему в этом пределе будет равна скорость оседания кольца вниз? Ускорение свободного падения принять равным g.

Решение. Выберем систему координат так, чтобы точка касания и центр кольца лежали на оси Ox, начало оси поместим в точку касания, ось направим к центру кольца. Направление вращения кольца выберем по часовой стрелке при $\omega больше 0.$ В точке касания скорость элемента кольца равна некоторой величине v, которая пропорциональна угловой скорости вращения, $v= альфа умножить на \omega R.$ Пока силой тяжести можно пренебречь, коэффициент $альфа$ не зависит от угловой скорости вращения, а может зависеть только от соотношения радиусов кольца и стержня R/a и коэффициента трения $\mu.$ Центр кольца движется со скоростью

$V_ц=v минус \omega R=\omega R левая круглая скобка альфа минус 1 правая круглая скобка$

по окружности радиуса R − a с центром на оси стержня. Нормальная сила реакции опоры (стержня) N является центростремительной силой, поддерживающей это круговое движение:

$N=m дробь: числитель: V_ц в квадрате , знаменатель: R минус a конец дроби =m дробь: числитель: \omega в квадрате R в квадрате левая круглая скобка 1 минус альфа правая круглая скобка в квадрате , знаменатель: R минус a конец дроби ,$

где m  — масса кольца. Сила трения имеет только y-компоненту, равную $F_тр= минус \muN.$ Её действие приводит к снижению со временем угловой скорости вращения. Вместе со скоростью вращения падают полный импульс кольца p и его полная кинетическая энергия E. Последняя складывается из поступательного движения центра масс кольца и его вращения как целого.

$p=mV_ц=m\omega R левая круглая скобка альфа минус 1 правая круглая скобка$

$дробь: числитель: dp, знаменатель: dt конец дроби =F_тр,$

$E= дробь: числитель: mV_ц в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби плюс дробь: числитель: m\omega в квадрате R в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: m\omega в квадрате R в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка 2 минус 2 альфа плюс альфа в квадрате правая круглая скобка ,$

$дробь: числитель: dE, знаменатель: dt конец дроби = минус F_трv.$

Записанные так импульс и энергия зависят от времени только через угловую скорость вращения $\omega.$ Распишем теперь уравнения на эти величины:

$m R левая круглая скобка альфа минус 1 правая круглая скобка дробь: числитель: d \omega, знаменатель: dt конец дроби = минус \mu m дробь: числитель: \omega в квадрате R в квадрате левая круглая скобка альфа минус 1 правая круглая скобка в квадрате , знаменатель: R минус a конец дроби ,$

$m\omega R в квадрате левая круглая скобка 2 минус 2 альфа плюс альфа в квадрате правая круглая скобка дробь: числитель: d\omega, знаменатель: dt конец дроби = минус \mu m дробь: числитель: \omega в кубе R в кубе левая круглая скобка альфа минус 1 правая круглая скобка в квадрате альфа , знаменатель: R минус a конец дроби .$

Для того, чтобы эти уравнения были совместны, надо, чтобы неизвестный коэффициент $альфа$ удовлетворял уравнению $левая круглая скобка 2 минус 2 альфа плюс альфа в квадрате правая круглая скобка = левая круглая скобка альфа минус 1 правая круглая скобка альфа ,$ откуда $альфа =2.$ Это может показаться удивительным, но точка кольца на поверхности касания со стержнем движется в ту же сторону, что и центр его тяжести, так что всё кольцо вращается относительно точки на нём, диаметрально противоположной точке касания! Таким образом, сила трения

$F_тр= минус m дробь: числитель: \omega в квадрате R в квадрате , знаменатель: R минус a конец дроби .$

Пока сила трения остаётся большой по сравнению с силой тяжести, F_тр >> mg, скорость оседания кольца V_вниз мала по сравнению со скоростью его вращения $\omega R.$ Сила трения слабо отклоняется от горизонтального направления вверх, так что её вертикальная компонента полностью компенсирует силу тяжести:

$дробь: числитель: V_вниз, знаменатель: V конец дроби = дробь: числитель: mg, знаменатель: F_тр конец дроби ,$

$V_вниз= дробь: числитель: 2g левая круглая скобка R минус a правая круглая скобка , знаменатель: \mu\omega R конец дроби .$

Ответ: $V_вниз= дробь: числитель: 2g левая круглая скобка R минус a правая круглая скобка , знаменатель: \mu\omega R конец дроби .$

Критерии по заданию	Баллы
Написана связь между силой реакции опоры и скоростью движения центра масс	3
Написана связь между ускорением центра масс и силой трения	3
Написана связь между скоростью убывания кинетической энергии кольца и силой трения (или – между убыванием момента количества движения и силой трения)	3
Установлена скорость движения центра масс	4
Написана связь между скоростью движения центра масс и скоростью движения точки касания	2
При найденной силе трения и скорости движения точки касания (может быть, найденных неверно) верно установлена связь между компонентами силы трения и компонентами скорости; получен ответ для скорости оседания кольца (вопрос 2)	5

№ п/п	№ задания	Ответ
1	258	$V_вниз= дробь: числитель: 2g левая круглая скобка R минус a правая круглая скобка , знаменатель: \mu\omega R конец дроби .$

Ключ