РЕШУ ОЛИМП — физика

Задания

Если перевернуть стакан, до краёв наполненный водой, то она из него вытечет. Если же перевернуть открытый флакон с глазными каплями, то жидкость вытекать не будет. Оцените размер отверстия во флаконе, при котором вода будет из него вытекать. Поверхностное натяжение воды $\sigma=7 умножить на 10 в степени левая круглая скобка минус 2 правая круглая скобка$  Н/м.

Решение. Поскольку флакон имеет только одно отверстие, то вытекание воды из флакона может происходить только следующим образом: Поверхность воды в области отверстия начинает изгибаться так, что полное количество жидкости не изменяется. Часть поверхности уходит вниз, приводя к образованию капли; другая же часть поверхности уходит вверх, что приведёт к образованию пузырька. Когда капля отделится от поверхности, тогда пузырёк полностью уйдёт в жидкость и начнёт всплывать, двигаясь ко дну флакона. Для оценки, возможен ли такой сценарий, достаточно рассмотреть начальную стадию зарождения пары капля‐пузырёк. На начальной стадии поверхность жидкости является слабо искривлённой, так что её амплитуда искривления h мала по сравнению с размером отверстия a, h << a.При искривлением поверхности связано изменение энергии жидкости, которое состоит из двух вкладов. Первый вклад $\Delta E_g$ есть изменение потенциальной энергии в поле силы тяжести. Смотря на рисунок, можно сделать вывод, что элемент жидкости объёмом порядка a²h переместился вниз на высоту порядка h, так что

$\Delta E_g \sim минус \rho g умножить на a в квадрате h умножить на h= минус \rho g a в квадрате h в квадрате$

Второй вклад $\Delta E_\sigma$ связан с увеличением поверхностной энергии вследствие увеличения площади поверхности воды при искривлении поверхности. Для того, чтобы оценить величину изменения поверхности, приблизим поверхность ломаной линией, как это показано на рисунке. Теперь оценка свелась к тому, что нам нужно вычислить отличие гипотенузы l прямоугольного треугольника от его длинной стороны a, если короткая сторона равна h:

$l минус a= корень из: начало аргумента: a в степени левая круглая скобка 2 конец аргумента плюс h в квадрате правая круглая скобка минус a \approx дробь: числитель: h в квадрате , знаменатель: 2 a конец дроби .$

Поэтому изменение поверхностной энергии оценивается как $\Delta E_\sigma \sim \sigma левая круглая скобка l минус a правая круглая скобка a \sim \sigma h в квадрате .$ Для того, чтобы процесс образования пары капля‐пузырик был энергетически разрешён, надо, чтобы изменение энергии системы на начальном этапе было отрицательным,

$\Delta E_g плюс \Delta E_\sigma \sim минус \rho g a в квадрате h в квадрате плюс \sigma h в квадрате меньше 0,$

то есть когда

$\rho g a в квадрате больше \sigma,$ $a больше корень из: начало аргумента: дробь: числитель: \sigma, знаменатель: \rho g конец дроби конец аргумента \sim 2,5мм.$

Задача может быть решена также методом размерности. К физике рассматриваемого процесса образования капли‐пузырёк имеют отношение поверхностное натяжение жидкости, её массовая плотность и ускорение свободного падения. Размерности этих величин суть

$левая квадратная скобка \sigma правая квадратная скобка = дробь: числитель: эрг, знаменатель: см в квадрате конец дроби = дробь: числитель: г, знаменатель: c в квадрате конец дроби ,$

$левая квадратная скобка \rho правая квадратная скобка = дробь: числитель: г, знаменатель: см в кубе конец дроби б$

$левая квадратная скобка g правая квадратная скобка = дробь: числитель: см, знаменатель: c в квадрате конец дроби .$

Из этих величин надо собрать величину размерности длины. Исключение граммов требует выбора комбинации $\sigma/\rho,$ а исключение времени требует деления выписанной комбинации на g. В результате снова приходим к ответу.

Ответ: $a больше корень из: начало аргумента: дробь: числитель: \sigma, знаменатель: \rho g конец дроби конец аргумента \sim 2,5мм.$

Критерии по заданию	Баллы
Записано выражение для лапласовского давления	4
Записано выражения для гравитационной силы, действующей на зарождающуюся каплю	4
Записано выражения для силы, действующей на зарождающуюся каплю со стороны поверхностного натяжения	4
Записано выражения для энергии поверхностного натяжения искривлённой поверхности	4
Записано выражения для гравитационной энергии зарождающейся капли	4

№ п/п	№ задания	Ответ
1	261	$a больше корень из: начало аргумента: дробь: числитель: \sigma, знаменатель: \rho g конец дроби конец аргумента \sim 2,5мм.$

Ключ