РЕШУ ОЛИМП — физика

Задания

Тип 0 № 2659 Добавить в вариант

Олимпиада Казанского федерального университета, 11 класс, 2 тур (заключительный), 2021 год

Классификатор: Электродинамика. Движение заряженных частиц в электр. поле

Притягательная пластина. Маленький шарик с зарядом q и массой m закреплен на невесомом непроводящем жестком стержне таким образом, что он может свободно отклонятся на любой угол в плоскости рисунка. Вертикально, перпендикулярно плоскости рисунка, расположена бесконечная проводящая плоскость (заземленная) с очень высокой проводимостью. В состоянии равновесия стержень отклоняется от вертикали на угол а₀. Найти период малых колебаний (в плоскости рисунка) вблизи точки равновесия, если таковые имеют место. Длина стержня l. Достаточно учесть электростатическое взаимодействие шарика только с проводящей плоскостью. Электромагнитным излучением и сопутствующими явлениями можно пренебречь. Возможно, Вам будет полезна формула $левая круглая скобка 1 плюс x правая круглая скобка в степени y \approx 1 плюс yx$ при $x\ll 1.$

Решение. Кроме силы тяжести и силы упругости, на шарик действует сила электростатического притяжения с изображением заряда шарика в металлической плоскости. Положение заряда-изображения находится стандартным образом из требования равенства нулю электрического потенциала на бесконечной плоскости.

Рассмотрим сначала стационарное состояние. Спроецируем силы на ось x (см. рис.).

$0= минус m g синус альфа _0 плюс дробь: числитель: k q в квадрате косинус альфа _0, знаменатель: 4 b в квадрате конец дроби , \qquad левая круглая скобка 1 правая круглая скобка$ $b= корень из: начало аргумента: дробь: числитель: k q в квадрате \cot альфа _0, знаменатель: 4 m g конец дроби конец аргумента .$

Предположим далее, что угол между стержнем и вертикалью α, $\left| альфа минус альфа _0| \ll l.$ Второй закон Ньютона, спроецированный на ось x, имеет вид

$m l \ddot альфа = минус m g синус альфа плюс дробь: числитель: k q в квадрате косинус альфа , знаменатель: 4 левая круглая скобка b плюс l левая круглая скобка синус альфа _0 минус синус альфа правая круглая скобка правая круглая скобка в квадрате конец дроби .$

Введем новую переменную $альфа в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка = альфа минус альфа _0 \ll 1,$ тогда

$m l \ddot альфа = минус m g левая круглая скобка синус альфа в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка косинус альфа _0 плюс синус альфа _0 косинус альфа в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка правая круглая скобка плюс дробь: числитель: k q в квадрате левая круглая скобка косинус альфа _0 косинус альфа в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка минус синус альфа _0 синус альфа в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка правая круглая скобка , знаменатель: 4 левая круглая скобка b плюс l левая круглая скобка синус альфа _0 минус синус альфа в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка косинус альфа _0 минус синус альфа _0 косинус альфа в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка правая круглая скобка правая круглая скобка в квадрате конец дроби .$ $m l \ddot альфа = минус m g левая круглая скобка синус альфа в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка косинус альфа _0 плюс синус альфа _0 косинус альфа в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка правая круглая скобка плюс$
$плюс дробь: числитель: k q в квадрате левая круглая скобка косинус альфа _0 косинус альфа в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка минус синус альфа _0 синус альфа в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка правая круглая скобка , знаменатель: 4 левая круглая скобка b плюс l левая круглая скобка синус альфа _0 минус синус альфа в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка косинус альфа _0 минус синус альфа _0 косинус альфа в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка правая круглая скобка правая круглая скобка в квадрате конец дроби .$

Используя первый замечательный предел и его следствия, получим в первом порядке по $альфа в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка$

$m l \ddot альфа = минус m g левая круглая скобка альфа в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка косинус альфа _0 плюс синус альфа _0 правая круглая скобка плюс дробь: числитель: k q в квадрате левая круглая скобка косинус альфа _0 минус альфа в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка синус альфа _0 правая круглая скобка , знаменатель: 4 b в квадрате левая круглая скобка 1 минус дробь: числитель: l альфа в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка косинус альфа _0, знаменатель: b конец дроби правая круглая скобка в квадрате конец дроби \Rightarrow$
$\Rightarrow m l \ddot альфа = минус m g левая круглая скобка альфа в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка косинус альфа _0 плюс синус альфа _0 правая круглая скобка плюс дробь: числитель: k q в квадрате косинус альфа _0, знаменатель: 4 b в квадрате конец дроби левая круглая скобка косинус альфа _0 минус альфа в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка синус альфа _0 правая круглая скобка левая круглая скобка 1 плюс дробь: числитель: 2 l альфа в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка косинус альфа _0, знаменатель: b конец дроби правая круглая скобка .$

Учитывая (1) в первом порядке по $альфа в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка$

$m l \ddot альфа = минус m g альфа в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка косинус альфа _0 плюс дробь: числитель: k q в квадрате альфа в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка косинус альфа _0, знаменатель: 4 b в квадрате конец дроби левая круглая скобка дробь: числитель: 2 l косинус в квадрате альфа _0, знаменатель: b конец дроби минус синус альфа _0 правая круглая скобка \Rightarrow$
$\Rightarrow \ddot альфа плюс альфа в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка левая круглая скобка дробь: числитель: g косинус альфа _0, знаменатель: l конец дроби минус дробь: числитель: k q в квадрате косинус альфа _0, знаменатель: 4 m b в квадрате конец дроби левая круглая скобка дробь: числитель: 2 косинус в квадрате альфа _0, знаменатель: b конец дроби минус дробь: числитель: синус альфа _0, знаменатель: l конец дроби правая круглая скобка правая круглая скобка =0 .$

Если выражение в скобках положительно, в системе наблюдаются малые колебания циклической частотой

$\omega= корень из: начало аргумента: дробь: числитель: g косинус альфа _0, знаменатель: l конец дроби минус дробь: числитель: k q в квадрате , знаменатель: 4 m b в квадрате конец дроби левая круглая скобка дробь: числитель: 2 косинус в кубе альфа _0, знаменатель: b конец дроби минус дробь: числитель: синус 2 альфа _0, знаменатель: 2 l конец дроби правая круглая скобка конец аргумента .$

Период малых колебаний

где $b= корень из: начало аргумента: дробь: числитель: k q в квадрате \cot альфа _0, знаменатель: 4 m g конец дроби конец аргумента .$

Ответ: $T= дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: корень из: начало аргумента: \dfracg косинус альфа _0 конец аргумента l \dfrack q в квадрате 4 m b в квадрате левая круглая скобка \dfrac2 косинус альфа _0b минус \dfrac синус 2 альфа _02 l правая круглая скобка конец дроби ,$ где $b= корень из: начало аргумента: дробь: числитель: k q в квадрате \cot альфа _0, знаменатель: 4 m g конец дроби конец аргумента .$

Критерии проверки:

Записано условие равновесия (1). Найдено равновесное положение маятника	5
Записан второй закон Ньютона	4
Второй закон Ньютона переписан через малое смещение из положения равновесия	3
Записан второй закон Ньютона в первом порядке малости по смещению из положения равновесия	7
Найдена циклическая частота и период колебаний	6

2659

$T= дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: корень из: начало аргумента: \dfracg косинус альфа _0 конец аргумента l \dfrack q в квадрате 4 m b в квадрате левая круглая скобка \dfrac2 косинус альфа _0b минус \dfrac синус 2 альфа _02 l правая круглая скобка конец дроби ,$ где $b= корень из: начало аргумента: дробь: числитель: k q в квадрате \cot альфа _0, знаменатель: 4 m g конец дроби конец аргумента .$

Олимпиада: Олимпиада Казанского федерального университета

Класс: 11

Тур: 2 тур (заключительный)

Классификатор: Электродинамика. Движение заряженных частиц в электр. поле

Год: 2021

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	2659	$T= дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: корень из: начало аргумента: \dfracg косинус альфа _0 конец аргумента l \dfrack q в квадрате 4 m b в квадрате левая круглая скобка \dfrac2 косинус альфа _0b минус \dfrac синус 2 альфа _02 l правая круглая скобка конец дроби ,$ где $b= корень из: начало аргумента: дробь: числитель: k q в квадрате \cot альфа _0, знаменатель: 4 m g конец дроби конец аргумента .$