Ре­ше­ние. Рас­смот­рим сна­ча­ла поток через «сло­и­стый» ци­линдр. В уста­но­вив­шем­ся ре­жи­ме поток тепла оди­на­ков для всех слоев. Пусть   — из­ме­не­ние тем­пе­ра­ту­ры в n-ом слое с ко­эф­фи­ци­ен­том теп­ло­про­вод­но­сти Из со­об­щен­но­го в усло­вии за­ко­на Фурье сле­ду­ет, что (где   — тол­щи­на слоя). Сум­ми­руя все эти из­ме­не­ния от пер­во­го до по­след­не­го (N-го) слоя, по­лу­чим пол­ную раз­ность тем­пе­ра­тур между по­верх­но­стя­ми:

C уче­том ал­геб­ра­и­че­ско­го тож­де­ства, ко­то­рое упо­ми­на­лось в при­ме­ча­нии, сумма в скоб­ке равна

Сле­до­ва­тель­но, с уче­том того, что

Во вто­ром слу­чае общий поток есть сумма по­то­ков через два ци­лин­дра:

В ре­зуль­та­те по­лу­ча­ем, что во вто­ром слу­чае за се­кун­ду дей­стви­тель­но пе­ре­да­ет­ся боль­ше тепла, чем в пер­вом, в

Если в про­цес­се вы­чис­ле­ний пре­не­бре­гать 1 по срав­не­нию с и по срав­не­нию с 1, то ошиб­ка будет не очень боль­шой:

Ответ: в раза.

Ком­мен­та­рий. На­зва­ние за­да­чи «теп­ло­вые ре­зи­сто­ры» свя­за­но с тем, что можно усмот­реть явную ана­ло­гию между за­ко­ном Ферми для теп­ло­про­вод­но­сти и за­ко­ном Ома для элек­три­че­ско­го тока, со­глас­но ко­то­ро­му заряд про­те­ка­ю­щее за время через обืъем ве­ще­ства дли­ной l с пло­ща­дью по­пе­реч­но­го се­че­ния S, про­пор­ци­о­на­лен на­пря­же­нию (раз­но­сти по­тен­ци­а­лов): Здесь роль теп­ло­про­вод­но­сти иг­ра­ет ве­ли­чи­на, об­рат­ная удель­но­му со­про­тив­ле­нию ρ (ку­дель­ная про­во­ди­мость s), а роль раз­но­сти тем­пе­ра­тур - на­пря­же­ние. Таким об­ра­зом, наша за­да­ча ана­ло­гич­на за­да­че о по­сле­до­ва­тель­ном и па­рал­лель­ном со­еди­не­нии ре­зи­сто­ров: в пер­вом слу­чае у нас це­поч­ка 100 по­сле­до­ва­тель­но со­еди­нен­ных ре­зи­сто­ров, а во вто­ром  — два па­рал­лель­но со­еди­нен­ных, и от­но­ше­ние токов равно об­рат­но­му со­от­но­ше­нию «со­про­тив­ле­ний».