Ре­ше­ние. Пусть m  — масса по­плав­ка, L, S  — длина и пло­щадь по­плав­ка, m_с  — масса стре­ко­зы. Также, обо­зна­чим длину под­вод­ной части по­плав­ка через x, а плот­ность воды  — через ρ. Те­перь, масса воды, вы­тес­ня­е­мая под­вод­ной ча­стью по­плав­ка, будет равна ρ · S · x, так что усло­вие его пла­ва­ния за­пи­шет­ся в виде

где M, m  — массы груза и по­плав­ка. В даль­ней­шем по­ла­га­ем m  =  M, так что

Не­по­движ­ность по­плав­ка в на­клон­ном по­ло­же­нии озна­ча­ет, что ском­пен­си­ро­ва­ны мо­мен­ты дей­ству­ю­щих на него сил. С уче­том того, что сила Ар­хи­ме­да при­ло­же­на в се­ре­ди­не под­вод­ной части по­плав­ка и на­прав­ле­на вверх, урав­не­ние ба­лан­са мо­мен­тов сил от­но­си­тель­но точки пе­ре­се­че­ния по­плав­ка с по­верх­но­стью воды при­ни­ма­ет вид

Аль­тер­на­тив­но, можно рас­смот­реть ба­ланс мо­мен­тов от­но­си­тель­но любой дру­гой точки, на­при­мер  — точки креп­ле­ния груза к по­плав­ку. В по­след­нем слу­чае, по­лу­ча­ет­ся урав­не­ние

Те­перь, вы­ра­жа­ем массу стре­ко­зы из усло­вия пла­ва­ния и под­став­ля­ем ре­зуль­тат в урав­не­ние ба­лан­са мо­мен­тов:

Если рас­крыть скоб­ки, а также вы­де­лить ко­эф­фи­ци­ент ρ · S · L, рав­ный массе по­плав­ка, то по­лу­ча­ет­ся квад­рат­ное урав­не­ние

с ре­ше­ни­я­ми:

Фи­зи­че­ско­му смыс­лу за­да­чи удо­вле­тво­ря­ет толь­ко ре­ше­ние с «ми­ну­сом», по­сколь­ку В слу­чае M  =  m это ре­ше­ние при­ни­ма­ет более про­стой вид

Для вы­яс­не­ния осо­бен­но­стей по­лу­чен­но­го ре­ше­ния учтём, что при за­дан­ной массе груза M уве­ли­че­ние массы стре­ко­зы m_с все­гда будет при­во­дить к уве­ли­че­нию x(M, m_с). При ну­ле­вой массе стре­ко­зы усло­вие пла­ва­ния по­плав­ка будет иметь вид

На сле­ду­ю­щем ри­сун­ке зна­че­ния x, за­да­ва­е­мые урав­не­ни­я­ми (⁎) и (⁎⁎), со­по­став­ле­ны между собой. Для обез­раз­ме­ри­ва­ния дан­ных, ве­ли­чи­ны x вы­ра­же­ны в еди­ни­цах L, а масса груза  — в еди­ни­цах ρ · S · L.

Из при­ве­ден­ных гра­фи­ков видно, что су­ще­ству­ет об­ласть зна­че­ний M, при ко­то­рых зна­че­ния x без стре­ко­зы долж­ны быть боль­ше, чем со стре­ко­зой. В этой об­ла­сти масса стре­ко­зы долж­на была бы быть от­ри­ца­тель­ной, что не со­от­вет­ству­ет по­ста­нов­ке за­да­чи. Видно, что масса стре­ко­зы ста­но­вит­ся по­ло­жи­тель­ной толь­ко при Это и есть ми­ни­маль­но воз­мож­ная масса груза, обес­пе­чи­ва­ю­щая не­ну­ле­вое ре­ше­ние за­да­чи. Стро­го, это ре­ше­ние по­лу­ча­ет­ся при­рав­ни­ва­ни­ем зна­че­ний x, за­да­ва­е­мых урав­не­ни­я­ми (⁎) и (⁎⁎):

от­ку­да, M₁  =  0 и С дру­гой сто­ро­ны, мак­си­маль­но воз­мож­ное зна­че­ние x  — это длина по­плав­ка L. Такой ре­зуль­тат по­лу­ча­ет­ся тогда, когда При такой массе груза из усло­вия пла­ва­ния по­плав­ка сле­ду­ет мак­си­маль­ная масса стре­ко­зы

Ответ: масса груза долж­на быть боль­шей 0,5 г, мак­си­маль­ная масса стре­ко­зы равна