Ре­ше­ние. Най­дем вна­ча­ле длину нити. Для это свя­жем за­ко­на­ми со­хра­не­ния энер­гии и им­пуль­са на­чаль­ное со­сто­я­ние си­сте­мы и со­сто­я­ние с мак­си­маль­ным (на 90°) от­кло­не­ни­ем нити:

Здесь учте­но, что из-за не­раз­рыв­но­сти нити шарик и коль­цо имеют оди­на­ко­вую ско­рость в по­ло­же­нии мак­си­маль­но­го от­кло­не­ния и через и L обо­зна­че­ны масса каж­до­го из тел, уско­ре­ние сво­бод­но­го па­де­ния и длина нити. Из за­пи­сан­ных урав­не­ний на­хо­дим, что

Рас­смот­рим те­перь со­сто­я­ние си­сте­мы с от­кло­не­ни­ем нити на За­пи­шем за­ко­ны со­хра­не­ния энер­гии и им­пуль­са в виде

где через обо­зна­че­на ско­рость коль­ца, а через и   — го­ри­зон­таль­ная и вер­ти­каль­ная ком­по­нен­ты ско­ро­сти ша­ри­ка. За­пи­шем также ки­не­ма­ти­че­скую связь  — усло­вие ра­вен­ства ско­ро­стей коль­ца и ша­ри­ка в про­ек­ции на нить:

Здесь учте­но, что вер­ти­каль­ная ско­рость ша­ри­ка на­прав­ле­на вверх при пер­вом про­хож­де­нии по­ло­же­ния с от­кло­не­ни­ем нити на 60°. Ис­клю­чая из за­пи­сан­ных урав­не­ний, на­при­мер, и при­хо­дим к квад­рат­но­му урав­не­нию для

Чтобы вы­брать пра­виль­ное зна­че­ние знака, под­ста­вим по­лу­чен­ное вы­ра­же­ние в фор­му­лу для вер­ти­каль­ной ком­по­нен­ты ско­ро­сти ко­то­рая сле­ду­ет из за­пи­сан­ных выше урав­не­ний со­хра­не­ния им­пуль­са и ки­не­ма­ти­че­ской связи. В ре­зуль­та­те по­лу­чим

Из усло­вия (шарик дви­жет­ся вверх в рас­смат­ри­ва­е­мом по­ло­же­нии) сле­ду­ет, что в по­лу­чен­ных ре­ше­ни­ях для и нужно вы­брать верх­ний знак. Таким об­ра­зом, для ком­по­нент ско­ро­сти окон­ча­тель­но имеем

Ве­ли­чи­на ско­ро­сти ша­ри­ка на­хо­дит­ся как

Ответ: