РЕШУ ОЛИМП — физика

Задания

Канатоходец массы m медленно переходит широкую пропасть по лёгкому резиновому жгуту жёсткости k (см. рисунок). Длина жгута в нерастянутом состоянии много меньше ширины пропасти L. Найдите зависимость h прогиба жгута от расстояния x, пройденного канатоходцем. Ускорение свободного падения равно g.

Решение. Запишем силы, действующие на кусок жгута, на котором стоит канатаходец: вес канатоходца, равный mg, сила натяжения T₁ от правой части остального жгута и T₂ от левой части (см. рисунок). Обозначим углы, образуемые правым и левым концами жгута с горизонталью за $альфа$ и $бета$ соответственно. Канатоходец движется медленно, поэтому можно считать, что в каждый момент система находится в равновесии. Условием этого является равенство нулю равнодействующей сил. В проекции на горизонтальную ось:

$T_1 косинус альфа =T_2 косинус бета .$

Обозначим жёсткости правой и левой части жгута за k₁ и k₂, а их длины (в растянутом состоянии) за l₁ и l₂ соответственно. Тогда можем записать силы натяжения через абсолютные удлинения (начальной длиной пренебрегаем):

$T_1 косинус альфа =k_1 \ell_1 дробь: числитель: x, знаменатель: \ell_1 конец дроби =k_1 x,$

$T_2 косинус бета =k_2 \ell_2 дробь: числитель: L минус x, знаменатель: \ell_2 конец дроби =k_2 левая круглая скобка L минус x правая круглая скобка ,$

$k_1 x=k_2 левая круглая скобка L минус x правая круглая скобка .$

Это равенство должно выполняться при любом m, в том числе при m  =  0 (канатоходца нет). Пусть сила натяжения жгута без канатоходца равна T. Тогда

$k_1 x=k_2 левая круглая скобка L минус x правая круглая скобка =T=k L.$

Перейдём к проекции сил на вертикальную ось:

$m g=T_1 синус альфа плюс T_2 синус бета =k_1 \ell_1 дробь: числитель: h, знаменатель: \ell_1 конец дроби плюс k_2 \ell_2 дробь: числитель: h, знаменатель: \ell_2 конец дроби = левая круглая скобка k_1 плюс k_2 правая круглая скобка h$

Выразив жёсткости, получим ответ:

$h= дробь: числитель: m g, знаменатель: k_1 плюс k_2 конец дроби = дробь: числитель: m g, знаменатель: дробь: числитель: k L, знаменатель: x конец дроби плюс дробь: числитель: k L, знаменатель: L минус x конец дроби конец дроби = дробь: числитель: m g x левая круглая скобка L минус x правая круглая скобка , знаменатель: k L в квадрате конец дроби .$

Таким образом, канатоходец будет двигаться по параболе.

Ответ: $h левая круглая скобка x правая круглая скобка = дробь: числитель: m g x левая круглая скобка L минус x правая круглая скобка , знаменатель: k L в квадрате конец дроби .$

№ п/п	№ задания	Ответ
1	217	$h левая круглая скобка x правая круглая скобка = дробь: числитель: m g x левая круглая скобка L минус x правая круглая скобка , знаменатель: k L в квадрате конец дроби .$

Ключ