РЕШУ ОЛИМП — физика

Задания

Стоя на земле, эльф Леголас может подпрыгнуть на высоту h₀  =  9 м. Он хочет запрыгнуть на башню высотой H  =  13 м. Чтобы ему помочь, гном Гимли сбрасывает с башни камни с нулевой начальной скоростью. Леголас подпрыгивает и в верхней точке своей траектории, поравнявшись с первым камнем, отталкивается от него вверх. Далее всё повторяется: когда его скорость обращается в нуль, он отталкивается дальше от очередного камня. Какое количество камней придётся сбросить Гимли, чтобы Леголас оказался на башне? Леголас отталкивается от любой поверхности с фиксированной относительной скоростью. Он делает это быстро. Масса каждого камня в 10 раз больше, чем масса Леголаса. Сопротивлением воздуха пренебречь.

Решение. Определим, с какой скоростью u₀ Леголас оттолкнулся от земли, чтобы подпрыгнуть на высоту h₀  =  9 м,

$h_0= дробь: числитель: u_0 в квадрате , знаменатель: 2 g конец дроби равносильно u_0= корень из: начало аргумента: 2 g h_0 конец аргумента .$

Леголас встретится с первым камнем на высоте h₀. Обозначим через h_i высоту, на которой он оттолкнётся от (i + 1)-го камня. Скорость камня на этой высоте равна

$H минус h_i= дробь: числитель: V в квадрате , знаменатель: 2 g конец дроби равносильно V= корень из: начало аргумента: 2 g левая круглая скобка H минус h_i конец аргумента правая круглая скобка .$

Поскольку процесс отталкивания происходит быстро, импульс силы тяжести не успевает изменить импульс системы “камень-Леголас” за время их взаимодействия. Поэтому имеем

$M V=M V в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка минус m u,$

где m и M  —  массы Леголаса и камня соответственно, u  — скорость Леголаса после прыжка, а V′  — новая скорость камня. Кроме того, по условию Леголас отталкивается относительно любой поверхности с одинаковой скоростью, поэтому

$u плюс V в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка =u_0.$

Решая систему из последних двух уравнений, получаем $u= дробь: числитель: u_0 минус V, знаменатель: 1 плюс m/M конец дроби .$ Имея такую скорость, Леголас сможет подняться вверх на высоту $\Delta h_i= дробь: числитель: u в квадрате , знаменатель: 2g конец дроби .$ Таким образом, он окажется на высоте

$h_i плюс 1=h_i плюс \Delta h_i=h_i плюс дробь: числитель: h_0 минус 2 корень из: начало аргумента: h_0 конец аргумента левая круглая скобка H минус h_i правая круглая скобка плюс H минус h_i, знаменатель: левая круглая скобка 1 плюс m / M правая круглая скобка в квадрате конец дроби , \quad i=0,1,2, \ldots$

Выражение выше представляет собой рекуррентное соотношение, которое позволяет рассчитать высоту, на которую в итоге поднимается Леголас. Подставляя численные значения, с учётом того, что m/M  =  0,1, получаем: h₁  =  9,83 м, h₂  =  11,05 м, h₃  =  13,18 м. Таким образом, чтобы помочь Леголасу подняться на высоту H  =  13 м, Гимли придётся сбросить три камня.

Ответ: Три камня.

№ п/п	№ задания	Ответ
1	228	Три камня.

Ключ