PDF-версии: 
К ползунку массы M, который может скользить по горизонтальному рельсу, шарнирно прикреплён жесткий невесомый стержень, на другом конце которого имеется небольшой груз массы m. Стержень отклоняют до горизонтального положения и, удерживая ползунок на месте, отпускают. Когда после прохождения нижнего положения груза угол отклонения стержня от вертикали достигает значения
(см. рис.), ползунок перестают удерживать. Найдите ускорение груза сразу после этого. Коэффициент трения между ползунком и рельсом 
ускорение свободного падения g. Трением в шарнире пренебречь. Считайте, что 
Решение. Рассмотрим силы, действующие на ползунок (см. рис.) сразу после того, как его перестали удерживать. Поскольку стержень безмассовый, он действует на ползунок с силой некоторой величины T, направленной вдоль стержня. Проекция этой силы на горизонтальную ось в общем случае заставляет ползунок двигаться вправо с ускорением ax > 0. Запишем второй закон Ньютона в проекции на горизонтальную и вертикальную оси:
Проекция силы трения не может превосходить 
и в точности совпадает с при ненулевом значении ускорения ax. Чтобы понять, какая ситуация реализуется, требуется рассмотреть движение груза, на который также действует сила величины T, направленная вдоль стержня (см. рис. 3). Удобно записать второй закон Ньютона в проекции на оси, направленные вдоль стержня и перпендикулярно ему:
Направления нормальной и тангенциальной компонент ускорения заданы на рис. 3, причём из последнего уравнения ясно, что 
Осталось определить величину an.
В приведённых выше уравнениях пока никак не учитывается тот факт, что стержень имеет постоянную длину, так что следует ещё выписать соответствующую кинематическую связь. Хорошо известно, что в терминах скоростей жёсткость стержня отвечает условию того, что относительная скорость его концов в проекции на сам стержень должна быть равна нулю. Выясним, какое условие возникает при рассмотрении ускорений. Пусть в данной системе отсчёта (СО рельса) положения концов стержня задаются радиус-векторами rm и rM соответственно, которые зависят от времени. Тогда условие постоянства длины стержня l можно записать в виде 
Рассмотрим изменение левой части за малое время 
и приравняем его к нулю: где в левой части стоит скалярное произведение и мы отбросили член второго порядка малости. Разделив это выражение на 
получаем:
Поскольку разность радиус-векторов направлена вдоль стержня, мы получили как раз то условие на скорости, которое упоминалась выше. В данном случае это означает, что скорость груза направлена перпендикулярно стержню, поскольку ползунок покоится. Чтобы получить условие на ускорения, нужно еще раз проварьировать данное уравнение (рассмотреть изменение левой части за время ). Заметим, что в последнем выражении нельзя класть vM = 0 до выполнения варьирования, т. к. ускорение ползунка в общем случае отлично от нуля. Имеем следующее:
Иначе говоря, уравнение, написанное выше, было получено путём двукратного дифференцирования уравнения постоянства длины по времени. Теперь с учётом выбранных направлений ускорений последнее условие записывается в виде 
где v — скорость груза. Заметим, что если ускорение ползунка не равно нулю, то an < v2/l, что означает, что радиус кривизны траектории груза становится больше l. Другой способ получить последнее уравнение состоит в переходе в систему отсчёта ползунка, где траектория груза представляет собой дугу окружности. В этой СО достаточно учесть переносное ускорение и записать, что центростремительное ускорение равно v2/l (скорость v остаётся прежней, поскольку скорость ползунка равна нулю).
Чтобы в дальнейшем использовать кинематическую связь, нужно определить скорость груза в интересующий нас момент времени. Это легко сделать с использованием закона сохранения энергии. Поскольку ползунок не двигался, работу совершала только сила тяжести. Получаем
Таким образом, 
Теперь необходимо решить систему уравнений, состоящую из первых четырех и последней формул. Рассмотрим отдельно два случая.
Случай 1. Ускорение ползунка равно нулю (ax = 0). Решая систему, получаем:
Отсюда возникает условие на коэффициент трения:
Данный результат следует интерпретировать следующим образом. Если коэффициент трения достаточно большой, т. е. удовлетворяет полученному условию, то ползунок остаётся на месте, а груз имеет только тангенциальную составляющую ускорения, равную Если же это условие не выполняется, то ползунок будет иметь ненулевое ускорение. Далее рассмотрим этот случай.
Случай 2. Ускорение ползунка не равно нулю (
). В этом случае мы имеем соотношение 
Тогда с учётом остальных уравнений находим:
Заметим, что при точном равенстве в условии на коэффициент трения ускорение ax обращается в нуль, а 
Теперь можно сформулировать ответ на вопрос задачи.
Ответ: 
при выполнении условия 
если это условие не выполняется, то нормальное ускорение задаётся выражением
при выполнении условия если это условие не выполняется, то нормальное ускорение задаётся выражением при выполнении условия если это условие не выполняется, то нормальное ускорение задаётся выражением