Рас­смот­рим силы, дей­ству­ю­щие на пол­зу­нок (см. рис.) сразу после того, как его пе­ре­ста­ли удер­жи­вать. По­сколь­ку стер­жень без­мас­со­вый, он дей­ству­ет на пол­зу­нок с силой не­ко­то­рой ве­ли­чи­ны T, на­прав­лен­ной вдоль стерж­ня. Про­ек­ция этой силы на го­ри­зон­таль­ную ось в общем слу­чае за­став­ля­ет пол­зу­нок дви­гать­ся впра­во с уско­ре­ни­ем a_x > 0. За­пи­шем вто­рой закон Нью­то­на в про­ек­ции на го­ри­зон­таль­ную и вер­ти­каль­ную оси:

Про­ек­ция силы тре­ния не может пре­вос­хо­дить и в точ­но­сти сов­па­да­ет с при не­ну­ле­вом зна­че­нии уско­ре­ния a_x. Чтобы по­нять, какая си­ту­а­ция ре­а­ли­зу­ет­ся, тре­бу­ет­ся рас­смот­реть дви­же­ние груза, на ко­то­рый также дей­ству­ет сила ве­ли­чи­ны T, на­прав­лен­ная вдоль стерж­ня (см. рис. 3). Удоб­но за­пи­сать вто­рой закон Нью­то­на в про­ек­ции на оси, на­прав­лен­ные вдоль стерж­ня и пер­пен­ди­ку­ляр­но ему:

На­прав­ле­ния нор­маль­ной и тан­ген­ци­аль­ной ком­по­нент уско­ре­ния за­да­ны на рис. 3, причём из по­след­не­го урав­не­ния ясно, что Оста­лось опре­де­лить ве­ли­чи­ну a_n.

В при­ведённых выше урав­не­ни­ях пока никак не учи­ты­ва­ет­ся тот факт, что стер­жень имеет по­сто­ян­ную длину, так что сле­ду­ет ещё вы­пи­сать со­от­вет­ству­ю­щую ки­не­ма­ти­че­скую связь. Хо­ро­шо из­вест­но, что в тер­ми­нах ско­ро­стей жёсткость стерж­ня от­ве­ча­ет усло­вию того, что от­но­си­тель­ная ско­рость его кон­цов в про­ек­ции на сам стер­жень долж­на быть равна нулю. Вы­яс­ним, какое усло­вие воз­ни­ка­ет при рас­смот­ре­нии уско­ре­ний. Пусть в дан­ной си­сте­ме отсчёта (СО рель­са) по­ло­же­ния кон­цов стерж­ня за­да­ют­ся ра­ди­ус-век­то­ра­ми r_m и r_M со­от­вет­ствен­но, ко­то­рые за­ви­сят от вре­ме­ни. Тогда усло­вие по­сто­ян­ства длины стерж­ня l можно за­пи­сать в виде Рас­смот­рим из­ме­не­ние левой части за малое время и при­рав­ня­ем его к нулю: где в левой части стоит ска­ляр­ное про­из­ве­де­ние и мы от­бро­си­ли член вто­ро­го по­ряд­ка ма­ло­сти. Раз­де­лив это вы­ра­же­ние на по­лу­ча­ем:

По­сколь­ку раз­ность ра­ди­ус-век­то­ров на­прав­ле­на вдоль стерж­ня, мы по­лу­чи­ли как раз то усло­вие на ско­ро­сти, ко­то­рое упо­ми­на­лась выше. В дан­ном слу­чае это озна­ча­ет, что ско­рость груза на­прав­ле­на пер­пен­ди­ку­ляр­но стерж­ню, по­сколь­ку пол­зу­нок по­ко­ит­ся. Чтобы по­лу­чить усло­вие на уско­ре­ния, нужно еще раз про­ва­рьи­ро­вать дан­ное урав­не­ние (рас­смот­реть из­ме­не­ние левой части за время ). За­ме­тим, что в по­след­нем вы­ра­же­нии нель­зя класть v_M  =  0 до вы­пол­не­ния ва­рьи­ро­ва­ния, т. к. уско­ре­ние пол­зун­ка в общем слу­чае от­лич­но от нуля. Имеем сле­ду­ю­щее:

Иначе го­во­ря, урав­не­ние, на­пи­сан­ное выше, было по­лу­че­но путём дву­крат­но­го диф­фе­рен­ци­ро­ва­ния урав­не­ния по­сто­ян­ства длины по вре­ме­ни. Те­перь с учётом вы­бран­ных на­прав­ле­ний уско­ре­ний по­след­нее усло­вие за­пи­сы­ва­ет­ся в виде где v   — ско­рость груза. За­ме­тим, что если уско­ре­ние пол­зун­ка не равно нулю, то a_n < v₂/l, что озна­ча­ет, что ра­ди­ус кри­виз­ны тра­ек­то­рии груза ста­но­вит­ся боль­ше l. Дру­гой спо­соб по­лу­чить по­след­нее урав­не­ние со­сто­ит в пе­ре­хо­де в си­сте­му отсчёта пол­зун­ка, где тра­ек­то­рия груза пред­став­ля­ет собой дугу окруж­но­сти. В этой СО до­ста­точ­но учесть пе­ре­нос­ное уско­ре­ние и за­пи­сать, что цен­тро­стре­ми­тель­ное уско­ре­ние равно v²/l (ско­рость v остаётся преж­ней, по­сколь­ку ско­рость пол­зун­ка равна нулю).

Чтобы в даль­ней­шем ис­поль­зо­вать ки­не­ма­ти­че­скую связь, нужно опре­де­лить ско­рость груза в ин­те­ре­су­ю­щий нас мо­мент вре­ме­ни. Это легко сде­лать с ис­поль­зо­ва­ни­ем за­ко­на со­хра­не­ния энер­гии. По­сколь­ку пол­зу­нок не дви­гал­ся, ра­бо­ту со­вер­ша­ла толь­ко сила тя­же­сти. По­лу­ча­ем

Таким об­ра­зом, Те­перь не­об­хо­ди­мо ре­шить си­сте­му урав­не­ний, со­сто­я­щую из пер­вых че­ты­рех и по­след­ней фор­мул. Рас­смот­рим от­дель­но два слу­чая.

Слу­чай 1. Уско­ре­ние пол­зун­ка равно нулю (a_x  =  0). Решая си­сте­му, по­лу­ча­ем:

От­сю­да воз­ни­ка­ет усло­вие на ко­эф­фи­ци­ент тре­ния:

Дан­ный ре­зуль­тат сле­ду­ет ин­тер­пре­ти­ро­вать сле­ду­ю­щим об­ра­зом. Если ко­эф­фи­ци­ент тре­ния до­ста­точ­но боль­шой, т. е. удо­вле­тво­ря­ет по­лу­чен­но­му усло­вию, то пол­зу­нок остаётся на месте, а груз имеет толь­ко тан­ген­ци­аль­ную со­став­ля­ю­щую уско­ре­ния, рав­ную Если же это усло­вие не вы­пол­ня­ет­ся, то пол­зу­нок будет иметь не­ну­ле­вое уско­ре­ние. Далее рас­смот­рим этот слу­чай.

Слу­чай 2. Уско­ре­ние пол­зун­ка не равно нулю (). В этом слу­чае мы имеем со­от­но­ше­ние Тогда с учётом осталь­ных урав­не­ний на­хо­дим:

За­ме­тим, что при точ­ном ра­вен­стве в усло­вии на ко­эф­фи­ци­ент тре­ния уско­ре­ние a_x об­ра­ща­ет­ся в нуль, а Те­перь можно сфор­му­ли­ро­вать ответ на во­прос за­да­чи.

Ответ: при вы­пол­не­нии усло­вия если это усло­вие не вы­пол­ня­ет­ся, то нор­маль­ное уско­ре­ние задаётся вы­ра­же­ни­ем