РЕШУ ОЛИМП — физика

Задания

Прямоугольная металлическая решётка состоит из 2n × n квадратных ячеек (см. рис.). Площадь каждой ячейки S, сопротивление каждого ребра ячейки R. Решётку вращают с угловой скоростью $\omega$ вокруг оси OO′ в постоянном однородном магнитном поле индукции B. Сколько тепла выделяется за один полный оборот решётки? Из решётки удаляют одно ребро ячейки (неизвестно какое). Какое минимальное тепловыделение можно при этом получить? Излучением пренебречь. Задачу решать для четных n.

Решение. К сожалению, в связи с ошибкой, допущенной жюри, решение данной задачи не удаётся получить в общем случае (для произвольного n) в замкнутом виде. Жюри приносит свои извинения участникам олимпиады. Ниже представлено частичное решение задачи для случая чётного n.

Рассмотрим одну ячейку решётки. По закону Фарадея в данном контуре возникает ЭДС индукции из-за наличия изменяющегося магнитного потока. Зависимость потока от времени задается следующим выражением:

$\Phi левая круглая скобка t правая круглая скобка =B S синус \omega t.$

Тогда ЭДС индукции равна $\varepsilon левая круглая скобка t правая круглая скобка = минус \Delta \Phi / \Delta t= минус B S \omega косинус \omega t.$

Для определения токов в исходной схеме введём контурные токи, как показано на рис. 4. Реальный ток, протекающий по заданному ребру решётки либо равен разности контурных токов в соседних ячейках, либо совпадает с одним из них, если ребро выбрано на границе решётки. Такой выбор переменных автоматически учитывает сохранение заряда в узлах схемы. Заметим, что в силу наличия симметрии достаточно рассмотреть лишь четверть решётки, включающую $m\equiv n в квадрате /2$ ячеек. Запишем законы Кирхгофа в терминах соответствующих контурных токов:

$4 I_1 минус I_2 минус I_n плюс 1=\varepsilon / R,$

$4 I_2 минус I_1 минус I_3 минус I_n плюс 2=\varepsilon / R,$

$4 I_3 минус I_2 минус I_4 минус I_n плюс 3=\varepsilon / R,$

$\ldots$

$3 I_n минус I_n минус 1 минус I_2 n=\varepsilon / R,$

$4 I_n плюс 1 минус I_1 минус I_n плюс 2 минус I_2 n плюс 1=\varepsilon / R,$

$\ldots$

Поскольку система уравнений является линейной, искомые токи можно представить в виде $I_k = альфа k\varepsilon левая круглая скобка t правая круглая скобка /R,$ где k  =  1, ..., m. Иными словами, зависимость токов от времени задаётся функцией $\varepsilon левая круглая скобка t правая круглая скобка ,$ в то время как коэффициент пропорциональности для каждой ячейки свой. Полную систему для нахождения безразмерных коэффициентов $альфа k$ удобно представить в матричном виде. Например, для n  =  4 (m  =  8) матрица имеет следующий вид:

$левая круглая скобка \beginarraycccccccc4 минус 1 0 0 минус 1 0 0 0 минус 1 4 минус 1 0 0 минус 1 0 0 0 минус 1 4 минус 1 0 0 минус 1 0 0 0 минус 1 3 0 0 0 минус 1 минус 1 0 0 0 3 минус 1 0 0 0 минус 1 0 0 минус 1 3 минус 1 0 0 0 минус 1 0 0 минус 1 3 минус 1 0 0 0 минус 1 0 0 минус 1 2\endarray правая круглая скобка левая круглая скобка \beginarrayl альфа _1 альфа _2 альфа _3 альфа _4 альфа _5 альфа _6 альфа _7 альфа _8\endarray правая круглая скобка = левая круглая скобка \beginarrayl1 1 1 1 1 1 1 1\endarray правая круглая скобка .$

Умножение в левой части производится по правилу “строка на столбец”, как показано в следующем примере:

$левая круглая скобка \beginarraylla b c d\endarray правая круглая скобка левая круглая скобка \beginarrayl альфа бета \endarray правая круглая скобка = левая круглая скобка \beginarrayla альфа плюс b бета c альфа плюс d бета \endarray правая круглая скобка .$

В общем случае матрица системы имеет пятидиагональную форму. К сожалению, решить такую систему в общем виде не получается. Представим решения для n  =  2 и n  =  4:

$n=2: \quad левая круглая скобка \beginarrayl альфа _1 альфа _2\endarray правая круглая скобка = левая круглая скобка \beginarrayc3 / 5 4 / 5\endarray правая круглая скобка ,$

$n=4: \quad левая круглая скобка \beginarrayc альфа _1 альфа _2 альфа _3 альфа _4 альфа _5 альфа _6 альфа _7 альфа _8\endarray правая круглая скобка = левая круглая скобка \beginarrayc2099 / 2245 3164 / 2245 739 / 449 3916 / 2245 2987 / 2245 4617 / 2245 1091 / 449 5808 / 2245\endarray правая круглая скобка .$

Заметим, что соседние контурные токи не совпадают, т. е. ток протекает по каждому из рёбер внутри рассматриваемой четверти схемы. Аналогичные уравнения можно написать и для нечетного n. В этом случае мы будем иметь n(n + 1)/2 неизвестных.

Мощность, которая выделяется при прохождении тока удобно вычислять по формуле P  =  I²R, при этом требуется просуммировать данное выражение по всем рёбрам решётки. Отсюда следует, что суммарная мощность пропорциональна величине $\varepsilon в квадрате левая круглая скобка t правая круглая скобка /R$ с некоторым безразмерным коэффициентом Nn, который можно получить, решив систему линейных уравнений m × m:

$P_общ=N_n дробь: числитель: B в квадрате S в квадрате \omega в квадрате , знаменатель: R конец дроби косинус в квадрате \omega t.$

Для определения тепла необходимо проинтегрировать данную мощность по периоду ( $T = 2 Пи /\omega$ ):

$Q=N_n дробь: числитель: B в квадрате S в квадрате \omega в квадрате , знаменатель: R конец дроби принадлежит t_0 в степени левая круглая скобка T правая круглая скобка косинус в квадрате \omega t d t=N_n дробь: числитель: B в квадрате S в квадрате \omega в квадрате , знаменатель: 2 R конец дроби принадлежит t_0 в степени левая круглая скобка T правая круглая скобка левая круглая скобка 1 плюс косинус 2 \omega t правая круглая скобка d t.$

Первое слагаемое под знаком интеграла не зависит от времени, что позволяет провести интегрирование простым домножением на величину периода. Второе же слагаемое вклада не даст, поскольку участки с разными знаками при интегрировании по периоду полностью компенсируют друг друга. Имеем:

$Q=N_n дробь: числитель: Пи B в квадрате S в квадрате \omega, знаменатель: R конец дроби .$

Аналогичным образом следует искать количество теплоты в отсутствие одного из рёбер. Однако, в этом случае пропадает симметрия решётки, т. е. система уравнений существенно усложняется.

Ответ: $Q=N_n дробь: числитель: Пи B в квадрате S в квадрате \omega, знаменатель: R конец дроби .$

Критерии оценивания задания	Баллы
Сказано, что ЭДС индукции определяется скоростью изменения магнитного потока	2
Отмечено, что выделяемая тепловая мощность пропорциональна квадрату ЭДС индукции	1
Вычислено выражение вида $принадлежит t_0 в степени левая круглая скобка T правая круглая скобка косинус в квадрате \omega t d t=T / 2$	1

Критерии оценивания задания	Баллы
Вычислено выделившееся тепло для исходной схемы	2
Исследованы схемы в отсутствие одного из рёбер и найден ответ на второй вопрос задачи	2

Критерии оценивания задания	Баллы
Выписаны уравнения Кирхгофа для части схемы или для частного случая n (2 балла из 4-х даётся за использование соображений симметрии для уменьшения числа неизвестных)	4
Получена полная система уравнений для нахождения токов в схеме	2

№ п/п	№ задания	Ответ
1	231	$Q=N_n дробь: числитель: Пи B в квадрате S в квадрате \omega, знаменатель: R конец дроби .$

Ключ