Прямоугольная металлическая решётка состоит из 2n × n квадратных ячеек (см. рис.). Площадь каждой ячейки S, сопротивление каждого ребра ячейки R. Решётку вращают с угловой скоростью 
вокруг оси OO′ в постоянном однородном магнитном поле индукции B. Сколько тепла выделяется за один полный оборот решётки? Из решётки удаляют одно ребро ячейки (неизвестно какое). Какое минимальное тепловыделение можно при этом получить? Излучением пренебречь. Задачу решать для четных n.
К сожалению, в связи с ошибкой, допущенной жюри, решение данной задачи не удаётся получить в общем случае (для произвольного n) в замкнутом виде. Жюри приносит свои извинения участникам олимпиады. Ниже представлено частичное решение задачи для случая чётного n.
Рассмотрим одну ячейку решётки. По закону Фарадея в данном контуре возникает ЭДС индукции из-за наличия изменяющегося магнитного потока. Зависимость потока от времени задается следующим выражением:
Тогда ЭДС индукции равна 
Для определения токов в исходной схеме введём контурные токи, как показано на рис. 4. Реальный ток, протекающий по заданному ребру решётки либо равен разности контурных токов в соседних ячейках, либо совпадает с одним из них, если ребро выбрано на границе решётки. Такой выбор переменных автоматически учитывает сохранение заряда в узлах схемы. Заметим, что в силу наличия симметрии достаточно рассмотреть лишь четверть решётки, включающую 
ячеек. Запишем законы Кирхгофа в терминах соответствующих контурных токов:
Поскольку система уравнений является линейной, искомые токи можно представить в виде 
где k = 1, ..., m. Иными словами, зависимость токов от времени задаётся функцией 
в то время как коэффициент пропорциональности для каждой ячейки свой. Полную систему для нахождения безразмерных коэффициентов 
удобно представить в матричном виде. Например, для n = 4 (m = 8) матрица имеет следующий вид:
Умножение в левой части производится по правилу “строка на столбец”, как показано в следующем примере:
В общем случае матрица системы имеет пятидиагональную форму. К сожалению, решить такую систему в общем виде не получается. Представим решения для n = 2 и n = 4:
Заметим, что соседние контурные токи не совпадают, т. е. ток протекает по каждому из рёбер внутри рассматриваемой четверти схемы. Аналогичные уравнения можно написать и для нечетного n. В этом случае мы будем иметь n(n + 1)/2 неизвестных.
Мощность, которая выделяется при прохождении тока удобно вычислять по формуле P = I2R, при этом требуется просуммировать данное выражение по всем рёбрам решётки. Отсюда следует, что суммарная мощность пропорциональна величине 
с некоторым безразмерным коэффициентом Nn, который можно получить, решив систему линейных уравнений m × m:
Для определения тепла необходимо проинтегрировать данную мощность по периоду (
):
Первое слагаемое под знаком интеграла не зависит от времени, что позволяет провести интегрирование простым домножением на величину периода. Второе же слагаемое вклада не даст, поскольку участки с разными знаками при интегрировании по периоду полностью компенсируют друг друга. Имеем:
Аналогичным образом следует искать количество теплоты в отсутствие одного из рёбер. Однако, в этом случае пропадает симметрия решётки, т. е. система уравнений существенно усложняется.
Ответ:
