сайты - меню - вход - но­во­сти


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 21 № 2443
i

«Пра­виль­ный» сне­го­вик устро­ен так, что цен­тры его со­при­ка­са­ю­щих­ся шаров рас­по­ла­га­ют­ся на одной линии, и все шары имеют общую ка­са­тель­ную. Алек­сандр решил про­ве­сти «убий­ство» та­ко­го сне­го­ви­ка, со­сто­я­ще­го из трёх шаров, «без сле­дов». Для этого он взял боль­ший шар сне­го­ви­ка, рас­то­пил и на­грел его до 100 °С в ка­стрю­ле. После этого он опу­стил в ка­стрю­лю сред­нюю часть сне­го­ви­ка, за­ме­тив, что после на­ступ­ле­ния теп­ло­во­го ба­лан­са тем­пе­ра­ту­ра умень­ши­лась до 60 °С. Какой ста­нет тем­пе­ра­ту­ра, если к име­ю­щим­ся «ули­кам» до­ба­вить верх­нюю часть сне­го­ви­ка? На­чаль­ная тем­пе­ра­ту­ра сне­го­ви­ка 0 °C, удель­ная теп­ло­та плав­ле­ния снега \lambda = 330 Дж/кг, удель­ная теп­ло­ем­кость воды c  =  4200 Дж/°С · кг.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Для на­ча­ла рас­смот­рим гео­мет­ри­че­скую за­да­чу про по­доб­ные тре­уголь­ни­ки, обо­зна­чив h рас­сто­я­ние от верх­ней окруж­ность до точки пе­ре­се­че­ния оси сим­мет­рии и ка­са­тель­ной:

 дробь: чис­ли­тель: R_1, зна­ме­на­тель: R_2 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: h плюс R_1, зна­ме­на­тель: h плюс 2 R_1 плюс R_2 конец дроби , \qquad левая круг­лая скоб­ка 1 пра­вая круг­лая скоб­ка

 

 дробь: чис­ли­тель: R_2, зна­ме­на­тель: R_3 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: h плюс 2 R_1 плюс R_2, зна­ме­на­тель: h плюс 2 R_1 плюс 2 R_2 плюс R_3 конец дроби . \qquad левая круг­лая скоб­ка 2 пра­вая круг­лая скоб­ка

Решая дан­ную си­сте­му, мы можем по­лу­чить со­от­но­ше­ние:

 R_1: R_2=R_2: R_3. \qquad левая круг­лая скоб­ка 3 пра­вая круг­лая скоб­ка

Те­перь за­пи­шем урав­не­ние теп­ло­во­го ба­лан­са боль­шей и сред­ней части сне­го­ви­ка:

m_3 c левая круг­лая скоб­ка t_к минус t_1 пра­вая круг­лая скоб­ка =m_2 c левая круг­лая скоб­ка t_к минус 0 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс m_2 \lambda, \qquad левая круг­лая скоб­ка 4 пра­вая круг­лая скоб­ка

 дробь: чис­ли­тель: m_3, зна­ме­на­тель: m_2 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: c t_1 плюс \lambda, зна­ме­на­тель: c левая круг­лая скоб­ка t_\mathrmк минус t_1 пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби = левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: r_3, зна­ме­на­тель: r_2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в кубе = левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: r_2, зна­ме­на­тель: r_1 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в кубе =k=3,46. \qquad левая круг­лая скоб­ка 5 пра­вая круг­лая скоб­ка

И за­пи­шем урав­не­ние теп­ло­во­го ба­лан­са всего сне­го­ви­ка:

 левая круг­лая скоб­ка m_3 плюс m_2 пра­вая круг­лая скоб­ка c левая круг­лая скоб­ка t_1 минус t_2 пра­вая круг­лая скоб­ка =m_1 c левая круг­лая скоб­ка t_2 минус 0 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс m_1 \lambda. \qquad левая круг­лая скоб­ка 6 пра­вая круг­лая скоб­ка

В ре­зуль­та­те при­хо­дим к окон­ча­тель­но­му от­ве­ту

 t_2= дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка m_3 плюс m_2 пра­вая круг­лая скоб­ка c t_1 минус m_1 \lambda, зна­ме­на­тель: левая круг­лая скоб­ка m_3 плюс m_2 плюс m_1 пра­вая круг­лая скоб­ка c конец дроби = дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка k в квад­ра­те плюс k пра­вая круг­лая скоб­ка c t_1 минус \lambda, зна­ме­на­тель: левая круг­лая скоб­ка k в квад­ра­те плюс k плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка c конец дроби =51,6 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка С.

Как видно, тем­пе­ра­ту­ра при дан­ном расчёте ока­за­лось по­ло­жи­тель­ной, так что дан­ный расчёт са­мо­со­гла­со­ван.

 

Ответ: 51,6°.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­нияБаллы
За­пи­са­но урав­не­ние теп­ло­во­го ба­лан­са для ниж­ней и сред­ней ча­стей сне­го­ви­ка5
Опре­де­ле­ны от­но­ше­ния гео­мет­ри­че­ских раз­ме­ров ча­стей сне­го­ви­ка5
За­пи­са­но урав­не­ние теп­ло­во­го ба­лан­са для всего сне­го­ви­ка5
Обос­но­ва­но по­лу­че­на тем­пе­ра­ту­ра теп­ло­во­го ба­лан­са сне­го­ви­ка10
Мак­си­маль­ный балл25
Классификатор: МКТ и тер­мо­ди­на­ми­ка. Теп­ло­об­мен