РЕШУ ОЛИМП — физика

Задания

На участок цилиндрического вогнутого зеркала радиуса R падает под малым углом $\varphi$ к касательной плоскости, проведённой к цилиндру в точке падения пучка, параллельный пучок света, имеющий круговое поперечное сечение радиуса a, см. рисунок.

Известно, что в области засветки поверхность зеркала меняет свой наклон на угол, малый по сравнению с углом падения $\varphi.$ Отражённый пучок наблюдается на экране, который расположен ортогонально отражённому центральному лучу в пучке. На каком расстоянии от точки отражения следует расположить экран, чтобы изображение пучка выглядело как линия, параллельная образующей цилиндрического зеркала?

Решение. Введём глобальную систему координат Охуz как показано на рисунке. Начало осей есть точка отражения центрального луча в пучке. Введём также координату $\zeta,$ направленную ортогонально оси падающего пучка в плоскости Oxz, так что прямая $\zeta=0,$ y  =  0 соответствует оси падающего пучка.

Поскольку мы имеем дело с участком цилиндрического зеркала, поверхность которого в разных точках имеет разный угол наклона, то установим сначала закон отражения лучей в общем виде в случае наклона отражающей поверхности относительной глобальной горизонтали Ox Пусть угол падения луча относительно глобальной оси Ox равен $\varphi,$ и падающий луч распространяется в плоскости Oxz. Если угол наклона отражающей поверхности равен $альфа$ относительно оси Ox, а ось Oy параллельна поверхности, то угол отражения $\chi$ относительно оси Ox равен

$\chi=\varphi плюс 2 альфа$

Равенство (1) легко усмотреть из требования равенства углов падения и отражения относительно отражающей поверхности.

Координата x связана с координатой $\zeta$ поперёк пучка согласно соотношению $x= дробь: числитель: \zeta, знаменатель: фи конец дроби .$ Таким образом, координата x изменяется в пределах $дробь: числитель: минус a, знаменатель: \varphi конец дроби меньше x меньше дробь: числитель: a, знаменатель: \varphi конец дроби .$ В этих подсчётах мы полагали, что поверхность зеркала можно считать в главном приближении плоской. Для того, чтобы найти локальную ориентацию поверхности, учтём кривизну зеркала. Получим, что

$альфа = дробь: числитель: x, знаменатель: R конец дроби$

Теперь можно приступить к ответу на поставленный вопрос. Крайние лучи сойдутся по вертикальному направлению (по направлению Oz) на расстоянии X, которое определяется условием

$X= дробь: числитель: 2 a, знаменатель: \chi левая круглая скобка \zeta=a правая круглая скобка минус \chi левая круглая скобка \zeta= минус a правая круглая скобка конец дроби = дробь: числитель: R \varphi, знаменатель: 2 конец дроби$

Согласно условию, угол изменения наклона зеркальной поверхности на расстоянии засветки мал по сравнению с углом падения, то есть

$дробь: числитель: дробь: числитель: a, знаменатель: \varphi конец дроби , знаменатель: R конец дроби \ll \varphi .$

Это условие эквивалентно тому, что расстояние X велико по сравнению с размером засветки, $X \gg дробь: числитель: a, знаменатель: \varphi конец дроби .$ Это неравенство оправдывает то, что при геометрическом расчёте, приведшем к формуле (2), мы как раз пренебрегли расстоянием $дробь: числитель: a, знаменатель: \varphi конец дроби ,$ которое есть разница хода двух крайних лучей до момента пересечения.

Ответ: $X \gg дробь: числитель: a, знаменатель: \varphi конец дроби .$

Критерии оценивания	Баллы
Показано, каким образом лучи образуют линию на экране (объяснены используемые приближения)	2
Найдена протяженность пятна света на зеркале	3
Указано, как зависит наклон части зеркала в зависимости от рассматриваемой точки падения луча	3
Найдено, под какими углами отражаются крайние лучи в пучке	7
Правильно получен ответ	10
Максимальный балл	25

№ п/п	№ задания	Ответ
1	2449	$X \gg дробь: числитель: a, знаменатель: \varphi конец дроби .$

Ключ