Ре­ше­ние.

Ре­ше­ние. Усло­ви­ем, опре­де­ля­ю­щим форму по­верх­но­сти Земли, яв­ля­ет­ся эк­ви­по­тен­ци­аль­ность её по­верх­но­сти. В нашем слу­чае, когда при­ня­то во вни­ма­ние вра­ще­ние Земли, это усло­вие долж­но вы­гля­деть сле­ду­ю­щим об­ра­зом: ра­бо­та, не­об­хо­ди­мая для того, чтобы пе­ре­ме­стить проб­ное тело (ма­те­ри­аль­ную точку) с од­но­го участ­ка по­верх­но­сти Земли на дру­гой, долж­на быть равна нулю. По­смот­рим те­перь, какую ра­бо­ту надо со­вер­шить для того, чтобы пе­ре­ме­стить тело с эк­ва­то­ра на полюс. Мы на­хо­дим­ся во вра­ща­ю­щей­ся си­сте­ме ко­ор­ди­нат, по­это­му на ма­те­ри­аль­ную точку m дей­ству­ют две силы  — сила тя­же­сти и сила инер­ции (цен­тро­беж­ная сила).

где   — цик­ли­че­ская ча­сто­та вра­ще­ния Земли. Сила тя­же­сти на­прав­ле­на все­гда к цен­тру Земли (век­тор име­ю­щий вб­ли­зи по­верх­но­сти Земли почти по­сто­ян­ное аб­со­лют­ное зна­че­ние), а цен­тро­стре­ми­тель­ная сила на­прав­ле­на от оси вра­ще­ния Земли (век­тор по мо­ду­лю рав­ный рас­сто­я­нию до оси вра­ще­ния).

По­смот­рим, какую ра­бо­ту со­вер­ша­ет цен­тро­беж­ная сила при пе­ре­ме­ще­нии ма­те­ри­аль­ной точки с по­лю­са на эк­ва­тор. Эта сила по соей за­ви­си­мо­сти от рас­сто­я­ния по­хо­жа на воз­вра­ща­ю­щую силу для упру­гой пру­жи­ны (по­сколь­ку ли­ней­но за­ви­сит от рас­сто­я­ния до оси вра­ще­ния), од­на­ко на­прав­лен в про­ти­во­по­лож­ную сто­ро­ну. По­это­му по ана­ло­гии с упру­гой пру­жи­ной, ра­бо­та, со­вершённая цен­тро­беж­ной силой при из­ме­не­нии от нуля (полюс) до R (эк­ва­тор), равна

Эта ра­бо­та долж­на ком­пен­си­ро­вать­ся ра­бо­той силы тя­же­сти, ко­то­рая равна

При­рав­ни­вая нулю сумму этих двух работ, по­лу­ча­ем, что на эк­ва­то­ре ра­ди­ус Земли боль­ше её ра­ди­у­са на по­лю­се на ве­ли­чи­ну

Ответ: