РЕШУ ОЛИМП — физика

Задания

По вертикальным электропроводящим рельсам в поле тяжести может скользить контакт массы m и длины w, равной расстоянию между рельсами. Рельсы замкнуты на идеальную индуктивность L и находятся в горизонтальном однородном магнитном поле с индукцией $\stackrelarrowB$ перпендикулярной плоскости рельс. Вначале контакт поддерживался внешней силой в покое. Определить максимальное смещение контакта от начального положения после того, как внешняя сила убрана и контакт начинает движение с нулевой начальной скоростью. Электрическим сопротивлением рельс и контакта можно пренебречь.

Решение. Пусть v  — скорость контакта, которая положительна, если контакт движется вверх; I  — ток по контуру контакт-рельса-индуктивность-рельса, который положителен, если ток направлен против часовой стрелки. Изменение скорости контакта происходит под действием двух сил  — силы тяжести и силы Ампера, действующей со стороны внешнего поля $\vecB$ :

$m дробь: числитель: \mathrmd v, знаменатель: \mathrm~d t конец дроби = минус m g плюс w I B.$

Изменение тока в контуре происходит по причине изменение потока внешнего магнитного поля через контур при движении контакта: поскольку активное сопротивление контура мало, то полный магнитный поток через контур с учётом потока через индуктивность остаётся всегда равным нулю. Запишем это условие:

$L дробь: числитель: \mathrmd I, знаменатель: \mathrm~d t конец дроби = минус w B v.$

Эти два уравнения вместе определяют гармонические колебания: продифференцировав второе и подставив в первое, получим

$дробь: числитель: \mathrmd в квадрате I, знаменатель: \mathrm~d t в квадрате конец дроби плюс \omega в квадрате левая круглая скобка I минус I_0 правая круглая скобка =0, \quad \omega в квадрате = дробь: числитель: w в квадрате B в квадрате , знаменатель: m L конец дроби , \quad I_0= дробь: числитель: m g, знаменатель: w B конец дроби .$

Величина $\omega$ есть частота колебаний. Начальным условиями является нулевое значение тока, $I левая круглая скобка 0 правая круглая скобка =0,$ а также нулевое значение его производной по времени, $дробь: числитель: dI, знаменатель: dt конец дроби левая круглая скобка 0 правая круглая скобка =0 ,$ поскольку по условию задачи начальная скорость контакта равна нулю. Поэтому величина $I_0$ определяет амплитуду колебаний тока, так что

$I левая круглая скобка t правая круглая скобка =I_0 левая круглая скобка 1 минус косинус левая круглая скобка \omega t правая круглая скобка правая круглая скобка .$

Теперь можно найти зависимость скорости от времени, воспользовавшись уже выписанным уравнением на ток в контуре:

$v= минус дробь: числитель: L, знаменатель: w B конец дроби дробь: числитель: \mathrmd I, знаменатель: \mathrm~d t конец дроби = минус дробь: числитель: L m g, знаменатель: w в квадрате B в квадрате конец дроби \omega синус левая круглая скобка \omega t правая круглая скобка .$

Поэтому амплитуда колебаний положения рельс равна

$z_A= дробь: числитель: L m g, знаменатель: w в квадрате B в квадрате конец дроби ,$

а полное максимальное смещение направлено вниз и по модулю равно удвоенной амплитуде. Таким образом, ответ равен

$\Delta z_\max = минус 2 z_A= минус дробь: числитель: 2 L m g, знаменатель: w в квадрате B в квадрате конец дроби .$

Решение 2. Для получения искомого ответа можно не выписывать явно уравнения движения, а ограничиться только энергетическими соображениями. Полная энергия складывается из потенциальной энергии контакта, его кинетической энергии, и магнитной энергии, запасённой в катушке индуктивности. В точках остановки, когда скорость контакта равна нулю, кинетическая энергия контакта равна нулю. Первой такой точкой является исходное положение контакта, второй точкой  — нижняя точка разворота контакта. Изменение полного потока через контур должно оставаться всегда равным нулю, поскольку активное сопротивление контура равно нулю. Поэтому магнитная энергия в катушке определяется магнитным потоком через неё, который компенсирует изменение потока внешнего поля через полный контур рельса-контакт-рельса-катушка:

$L I= минус B w \Delta z,$

где $\Delta z$   — смещение контакта по вертикальной координате. Закон сохранения энергии для нижней точки поворота выглядит как

$дробь: числитель: L I в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби плюс m g \Delta z_\max =0, \quad \Delta z_\max = минус дробь: числитель: 2 L m g, знаменатель: w в квадрате B в квадрате конец дроби .$

Ответ: $\Delta z_\max = минус дробь: числитель: 2 L m g, знаменатель: w в квадрате B в квадрате конец дроби .$

№ п/п	№ задания	Ответ
1	2462	$\Delta z_\max = минус дробь: числитель: 2 L m g, знаменатель: w в квадрате B в квадрате конец дроби .$

Ключ