Пусть v  — ско­рость кон­так­та, ко­то­рая по­ло­жи­тель­на, если кон­такт дви­жет­ся вверх; I  — ток по кон­ту­ру кон­такт-рель­са-ин­дук­тив­ность-рель­са, ко­то­рый по­ло­жи­те­лен, если ток на­прав­лен про­тив ча­со­вой стрел­ки. Из­ме­не­ние ско­ро­сти кон­так­та про­ис­хо­дит под дей­стви­ем двух сил  — силы тя­же­сти и силы Ам­пе­ра, дей­ству­ю­щей со сто­ро­ны внеш­не­го поля :

Из­ме­не­ние тока в кон­ту­ре про­ис­хо­дит по при­чи­не из­ме­не­ние по­то­ка внеш­не­го маг­нит­но­го поля через кон­тур при дви­же­нии кон­так­та: по­сколь­ку ак­тив­ное со­про­тив­ле­ние кон­ту­ра мало, то пол­ный маг­нит­ный поток через кон­тур с учётом по­то­ка через ин­дук­тив­ность остаётся все­гда рав­ным нулю. За­пи­шем это усло­вие:

Эти два урав­не­ния вме­сте опре­де­ля­ют гар­мо­ни­че­ские ко­ле­ба­ния: про­диф­фе­рен­ци­ро­вав вто­рое и под­ста­вив в пер­вое, по­лу­чим

Ве­ли­чи­на есть ча­сто­та ко­ле­ба­ний. На­чаль­ным усло­ви­я­ми яв­ля­ет­ся ну­ле­вое зна­че­ние тока, а также ну­ле­вое зна­че­ние его про­из­вод­ной по вре­ме­ни, по­сколь­ку по усло­вию за­да­чи на­чаль­ная ско­рость кон­так­та равна нулю. По­это­му ве­ли­чи­на опре­де­ля­ет ам­пли­ту­ду ко­ле­ба­ний тока, так что

Те­перь можно найти за­ви­си­мость ско­ро­сти от вре­ме­ни, вос­поль­зо­вав­шись уже вы­пи­сан­ным урав­не­ни­ем на ток в кон­ту­ре:

По­это­му ам­пли­ту­да ко­ле­ба­ний по­ло­же­ния рельс равна

а пол­ное мак­си­маль­ное сме­ще­ние на­прав­ле­но вниз и по мо­ду­лю равно удво­ен­ной ам­пли­ту­де. Таким об­ра­зом, ответ равен

Ре­ше­ние 2. Для по­лу­че­ния ис­ко­мо­го от­ве­та можно не вы­пи­сы­вать явно урав­не­ния дви­же­ния, а огра­ни­чить­ся толь­ко энер­ге­ти­че­ски­ми со­об­ра­же­ни­я­ми. Пол­ная энер­гия скла­ды­ва­ет­ся из по­тен­ци­аль­ной энер­гии кон­так­та, его ки­не­ти­че­ской энер­гии, и маг­нит­ной энер­гии, запасённой в ка­туш­ке ин­дук­тив­но­сти. В точ­ках оста­нов­ки, когда ско­рость кон­так­та равна нулю, ки­не­ти­че­ская энер­гия кон­так­та равна нулю. Пер­вой такой точ­кой яв­ля­ет­ся ис­ход­ное по­ло­же­ние кон­так­та, вто­рой точ­кой  — ниж­няя точка раз­во­ро­та кон­так­та. Из­ме­не­ние пол­но­го по­то­ка через кон­тур долж­но оста­вать­ся все­гда рав­ным нулю, по­сколь­ку ак­тив­ное со­про­тив­ле­ние кон­ту­ра равно нулю. По­это­му маг­нит­ная энер­гия в ка­туш­ке опре­де­ля­ет­ся маг­нит­ным по­то­ком через неё, ко­то­рый ком­пен­си­ру­ет из­ме­не­ние по­то­ка внеш­не­го поля через пол­ный кон­тур рель­са-кон­такт-рель­са-ка­туш­ка:

где   — сме­ще­ние кон­так­та по вер­ти­каль­ной ко­ор­ди­на­те. Закон со­хра­не­ния энер­гии для ниж­ней точки по­во­ро­та вы­гля­дит как

Ответ: