В горизонтальном дне сосуда имеется прямоугольное отверстие с размерами a · b. Его закрыли прямоугольным параллелепипедом со сторонами b · c · c так, что одна из диагоналей граниܿ c · c вертикальна (вид сбоку показан на рисунке). В сосуд медленно наливают жидкость плотностью p. Какова должна быть масса параллелепипеда M чтобы он не выплывал при любом уровне жидкости? Силами трения и поверхностного натяжения пренебречь.
Разобьём параллелепипед вертикальными плоскостями на много маленьких элементов. Рассмотрим силы давления, действующие на каждый из элементов в следующих случаях.
1. Жидкость и сверху и снизу отсутствует. В этом случае, очевидно, сила давления равна нулю.
2. Жидкость есть над элементом, но ее нет под элементом (см. рис. а). В этом случае проекция силы давления а вертикальную ось отрицательна, то есть жидкость стремится прижать куб ко дну.
3. Жидкость есть под элементом, но ее нет над элементом (см рис. б) В этом случае проекция силы давления на вертикальную ось положительна и равна 
где h и 
— высота и объем заштрихованной части элемента.
4. Жидкость есть и под элементом и над ним. В этом случае проекция силы на вертикаль равна 
где h1 и h2 — расстояния от поверхности жидкости до верхней и нижней граней рассматриваемого элемента соответственно.
Таким образом, из рассмотрения следует, что если под некоторым элементом пробки нет жидкости, то жидкость может только прижимать пробку к дну сосуда, и минимально значение вертикальной проекции этой прижимающей силы давления, равное нулю, достигается тогда, когда жидкости нет и над этим элементом. Если же под некоторым элементом пробки жидкость есть (случаи 3 и 4), то максимальное значение проекции силы на вертикальную ось положительно и равно где 
— объем рассматриваемого элемента (случай 4). Значит, сила давления будет иметь максимально возможное положительное значение тогда, когда жидкость налита в сосуд до уровня, показанного на рис. д. При этом интересующий нас объем (заштрихован на рисунке) равен
а максимальная величина выталкивающей силы равна
Если пробка не будет всплывать при уровне воды, показанном на рис. д, то она не будет всплывать и при любом другом уровне. Следовательно, массу пробки можно найти из условия 
откуда
Ответ: