Ре­ше­ние.

Обо­зна­чим мо­дуль ско­ро­сти мя­чи­ка прямо перед уда­ром о бру­сок за v, а после удара  — за u. Ве­ли­чи­на из­ме­не­ния им­пуль­са мя­чи­ка равна Пусть на мячик со сто­ро­ны брус­ка дей­ству­ет не­ко­то­рая сила боль­шой ве­ли­чи­ны F в те­че­ние ма­ло­го про­ме­жут­ка вре­ме­ни Тогда вы­пол­ня­ет­ся со­от­но­ше­ние По 3-му за­ко­ну Нью­то­на со сто­ро­ны мя­чи­ка на бру­сок дей­ству­ет сила, такая же по мо­ду­лю, но на­прав­лен­ная го­ри­зон­таль­но впра­во. Чтобы по­нять, как будет дви­гать­ся бру­сок сразу после удара, рас­смот­рим его ди­на­ми­ку под дей­стви­ем го­ри­зон­таль­ной силы, при­ло­жен­ной к ребру G.

Пра­вый ниж­ний угол брус­ка (точка E) будет дви­гать­ся впра­во с не­ко­то­рым го­ри­зон­таль­ным уско­ре­ни­ем ве­ли­чи­ны . Для ре­ше­ния за­да­чи удоб­но пе­рей­ти в си­сте­му от­сче­та, свя­зан­ную с точ­кой E. В этой не­инер­ци­аль­ной си­сте­ме от­сче­та сле­ду­ет учесть до­пол­ни­тель­ную силу инер­ции, при­ло­жен­ную к цен­тру брус­ка C, на­прав­лен­ную го­ри­зон­таль­но влево и име­ю­щую мо­дуль Осталь­ные силы, дей­ству­ю­щие на бру­сок, ука­за­ны на Рис. 3. При до­ста­точ­но боль­ших зна­че­ни­ях F бру­сок нач­нет вра­щать­ся от­но­си­тель­но оси E. По­сколь­ку нас в даль­ней­шем будет ин­те­ре­со­вать пре­дел очень боль­ших F, мы сразу учтем, что сила ре­ак­ции со сто­ро­ны пола при­ло­же­на к точке опоры E. За­пи­шем 2-й закон Нью­то­на в про­ек­ции на оси x и y:

Здесь го­ри­зон­таль­ную про­ек­цию уско­ре­ния цен­тра масс мы обо­зна­чи­ли штри­хом. Она свя­за­на с про­ек­ци­ей уско­ре­ния в ис­ход­ной си­сте­ме от­сче­та про­стым со­от­но­ше­ни­ем При этом вер­ти­каль­ные про­ек­ции уско­ре­ний в обеих си­сте­мах от­сче­та сов­па­да­ют. Не­до­ста­ю­щее урав­не­ние для опи­са­ния ди­на­ми­ки вра­ще­ния брус­ка можно вы­пи­сать, за­ме­тив, что мо­мен­ты всех сил от­но­си­тель­но оси, про­хо­дя­щий через центр брус­ка C, долж­ны быть ском­пен­си­ро­ва­ны, по­сколь­ку вся его масса со­сре­до­то­че­на в цен­тре. Это поз­во­ля­ет за­пи­сать

где ши­ри­на и вы­со­та брус­ка обо­зна­че­ны со­от­вет­ствен­но за b и c. На­ко­нец, нужно учесть, что уско­ре­ние цен­тра брус­ка в си­сте­ме от­сче­та точки E на­прав­ле­но пер­пен­ди­ку­ляр­но пря­мой EC. Нор­маль­ная со­став­ля­ю­щая вдоль EC от­сут­ству­ет, т. к. бру­сок в на­чаль­ный мо­мент по­ко­ит­ся. Это усло­вие можно за­пи­сать в виде

Те­перь урав­не­ния (7)−(10) можно легко ре­шить, счи­тая пока, что сила F из­вест­на:

За­ме­тим, что для на­хож­де­ния дан­ных уско­ре­ний также можно было за­пи­сать ос­нов­ное урав­не­ние ди­на­ми­ки вра­ща­тель­но­го дви­же­ния в форме где мо­мент инер­ции от­но­си­тель­но оси E равен   — уг­ло­вое уско­ре­ние,   — сум­мар­ный мо­мент сил от­но­си­тель­но оси E. Из урав­не­ния (12) видно, что вра­ще­ние воз­ни­ка­ет, если ве­ли­чи­на F удо­вле­тво­ря­ет усло­вию Если бы точка G была за­фик­си­ро­ва­на в ис­ход­ной си­сте­ме от­сче­та, то усло­вие вра­ще­ния брус­ка в тер­ми­нах F по­лу­ча­лось бы сразу же из рас­смот­ре­ния мо­мен­тов сил и имело бы вид , т. е. было бы в два раза сла­бее.

Те­перь можно пе­рей­ти к пре­де­лу при и найти про­ек­ции ско­ро­сти цен­тра масс брус­ка в ис­ход­ной си­сте­ме от­сче­та:

Здесь мы учли то, что им­пульс силы тя­же­сти стре­мит­ся к нулю в пре­де­ле мгно­вен­но­го удара мя­чи­ка о бру­сок, т. е. при

Мы свя­за­ли ско­ро­сти мя­чи­ка и цен­тра масс брус­ка после удара со ско­ро­стью мя­чи­ка до удара и ве­ли­чи­ной пе­ре­дан­но­го им­пуль­са Те­перь, чтобы ис­клю­чить вос­поль­зу­ем­ся за­ко­ном со­хра­не­ния энер­гии:

С уче­том ре­зуль­та­тов (14) и (15), а также по­лу­ча­ем

Для того, чтобы от­ве­тить те­перь на во­прос за­да­чи, за­ме­тим, что от­но­ше­ние рас­сто­я­ний |AF| и |BF| равно от­но­ше­нию ско­ро­стей v и u. Проще всего это по­нять, если об­ра­тить дви­же­ние мя­чи­ка на участ­ке АG. Так как время по­ле­та опре­де­ля­ет­ся толь­ко вы­со­той |FG|, оно оди­на­ко­во для тра­ек­то­рий GA и GB. При этом го­ри­зон­таль­ная про­ек­ция ско­ро­сти не ме­ня­ет­ся со вре­ме­нем, так что даль­ность по­ле­та (со­от­вет­ствен­но |FA| и |FB|) равна про­из­ве­де­нию вре­ме­ни по­ле­та и ско­ро­сти (v и u). Таким об­ра­зом, от­ку­да сле­ду­ет

В по­след­нем ра­вен­стве мы учли, что по усло­вию за­да­чи Рас­смот­рим пре­дель­ные слу­чаи. Если масса мя­чи­ка m много мень­ше массы брус­ка M, то от­ре­зок AB имеет очень малую ве­ли­чи­ну: Пре­дель­ный пе­ре­ход от­ве­ча­ет тому, что мы за­ме­ня­ем бру­сок на не­по­движ­ную (бес­ко­неч­но мас­сив­ную) стену, от ко­то­рой мячик от­ска­ки­ва­ет, никак не из­ме­няя своей энер­гии. Если же бру­сок очень лег­кий по срав­не­нию с мя­чи­ком, т. е. то ве­ли­чи­на от­рез­ка AB близ­ка к 2L. Это со­от­вет­ству­ет тому, что мячик, «почти не за­ме­тив» столк­но­ве­ния с брус­ком в вер­ши­не своей тра­ек­то­рии, про­ле­тит вто­рой уча­сток па­ра­бо­лы и при­зем­лит­ся на рас­сто­я­нии 2L от ис­ход­ной точки A.

В за­клю­че­ние от­ме­тим, что для ре­ше­ния за­да­чи вве­де­ние не­ну­ле­во­го вре­ме­ни удара не яв­ля­ет­ся обя­за­тель­ным. Вме­сто этого можно было сразу за­пи­сать за­ко­ны со­хра­не­ния энер­гии, им­пуль­са и мо­мен­та им­пуль­са, име­ю­щие сле­ду­ю­щий вид:

Мы за­пи­са­ли закон со­хра­не­ния им­пуль­са лишь в про­ек­ции на го­ри­зон­таль­ную ось, по­сколь­ку в этом на­прав­ле­нии им­пуль­са силы ре­ак­ции N  — как и сила F, она стре­мит­ся к бес­ко­неч­но­сти в пре­де­ле в со­от­вет­ствии с урав­не­ни­я­ми (9) и (15). Так как сила ре­ак­ции N имеет ну­ле­вое плечо от­но­си­тель­но оси E, она не вли­я­ет на со­хра­не­ние мо­мен­та им­пуль­са от­но­си­тель­но дан­ной оси, что поз­во­ля­ет за­пи­сать урав­не­ние (21). Оче­вид­но, сила N также не со­вер­ша­ет ра­бо­ту, что при­во­дит к (19). Решая си­сте­му (19)−(21) от­но­си­тель­но u, и мы при­хо­дим к вы­ра­же­нию (17).

 

Ответ: