РЕШУ ОЛИМП — физика

Задания

Имеется N одинаковых изолированных шаров, заполненных равным количеством идеального газа. Температуру каждого шара всегда поддерживают постоянной, величины T₁, T₂, ... , T_N известны. Все шары соединили с помощью тонких трубочек в цепочку и подключили к системе манометр M (см. рис.). Манометр показал давление P₀. Экспериментатор хочет добиться, чтобы показания манометра стали P. Для этого он подключает к цепочке еще один такой же шар с газом. Какую температуру $T_N плюс 1$ необходимо в нем поддерживать? Суммарным объемом соединительных трубок, а также газом в манометре можно пренебречь.

Решение. Рассмотрим первый случай с N шарами. При соединении шаров друг с другом газ перераспределится в них так, что давление во всех шарах будет одинаковым и равным $P_0$ (это условие механического равновесия). При этом суммарное количество вещества сохранится (пренебрегаем газом в трубках и в манометре):

$\sum_i=1 в степени левая круглая скобка N правая круглая скобка \v_i=N \v_0, \qquad левая круглая скобка 28 правая круглая скобка$

где $\v_0$   — количество вещества в каждом шаре до соединения шаров трубками, $\v_i$   — количество вещества в шаре i после соединения шаров и перераспределения молекул. Поскольку в шарах поддерживается определенная температура, можно записать закон Менделеева-Клапейрона для газа в каждом шаре:

$P_0 V=\nu_i R T_i,$ i  =  1, 2, ..., N, $\qquad левая круглая скобка 29 правая круглая скобка$

где V  — объем шара. Выразим неизвестную величину $\v_i$ из (29) и подставим в (28):

$дробь: числитель: P_0 V, знаменатель: R конец дроби \sum_i=1 в степени левая круглая скобка N правая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: T_i конец дроби =N \nu_0 \quad \Rightarrow \quad \sum_i=1 в степени левая круглая скобка N правая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: T_i конец дроби =N дробь: числитель: R \nu_0, знаменатель: P_0 V конец дроби . \qquad левая круглая скобка 30 правая круглая скобка$

После подключения $левая круглая скобка N плюс 1 правая круглая скобка$ -го шара с температурой $T_N плюс 1$ газ вновь перераспределится, создавая давление P в системе. (В какую именно точку цепочки подключен новый шар  — не важно.) Для этого случая выполняются аналогичные формулам (28), (29) соотношения. Поэтому можно обобщить формулу (30) на случай $левая круглая скобка N плюс 1 правая круглая скобка$ шаров:

$\Theta плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: T_N плюс 1 конец дроби = левая круглая скобка N плюс 1 правая круглая скобка дробь: числитель: R \nu_0, знаменатель: P V конец дроби , \qquad левая круглая скобка 31 правая круглая скобка$

где мы ввели обозначение

$\Theta \equiv \sum_i=1 в степени левая круглая скобка N правая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: T_i конец дроби . \qquad левая круглая скобка 32 правая круглая скобка$

Чтобы исключить неизвестные параметры R, v₀, V, поделим (31) на (30):

$дробь: числитель: \Theta плюс T_N плюс 1 в степени левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка , знаменатель: \Theta конец дроби = дробь: числитель: левая круглая скобка N плюс 1 правая круглая скобка P_0, знаменатель: N P конец дроби \Rightarrow T_N плюс 1=\Theta в степени левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка левая квадратная скобка дробь: числитель: левая круглая скобка N плюс 1 правая круглая скобка P_0, знаменатель: N P конец дроби минус 1 правая квадратная скобка в степени левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка . \qquad левая круглая скобка 33 правая круглая скобка$

Поскольку абсолютная температура не может быть меньше нуля, создать давление P за счет присоединения шара возможно только при $левая круглая скобка N плюс 1 правая круглая скобка P_0 больше N P.$

Ответ: если $левая круглая скобка N плюс 1 правая круглая скобка P_0 больше N P,$ то температура $левая круглая скобка N плюс 1 правая круглая скобка$ -го шара определяется формулой (33); в противном случая создать давление P невозможно.

№ п/п	№ задания	Ответ
1	2474	если $левая круглая скобка N плюс 1 правая круглая скобка P_0 больше N P,$ то температура $левая круглая скобка N плюс 1 правая круглая скобка$ -го шара определяется формулой (33); в противном случая создать давление P невозможно.

Ключ