РЕШУ ОЛИМП — физика

Задания

На вход схемы подаётся переменное синусоидальное напряжение с амплитудой U₀  =  12 В и

частотой f  =  50 Гц. Вольт‐амперная характеристика диодов изображена на рисунке, ёмкость C  =  2 · 10^-3 Ф, паразитное сопротивление R  =  1 кОм.

1.  Ключ K разомкнут. Нарисуйте зависимость напряжения U_R на резисторе R от времени. Чему равно максимальное напряжение? Чему равен период этой зависимости? Какую долю периода напряжение равно нулю?

2.  Ключ K замыкают. Нарисуйте зависимость напряжения U_R на резисторе в этом случае. Оцените амплитуду колебаний напряжения на резисторе.

Решение. Поскольку каждый диод может пропускать ток только в одном направлении, то благодаря схеме их соединения напряжение на резисторе (разница между потенциалами верхней и нижней точек) будет всегда неотрицательным. В зависимости от знака напряжения на источнике питания ток будет течь либо через пару диодов №1 (левый нижний и верхний правый), либо через пару диодов №2 (правый нижний и верхний левый). При этом, если течёт ток через резистор, падение напряжения на диодах будет в сумме составлять 1,2 В, то есть на резисторе будет напряжение |U| − 1,2 В, где U  — текущее напряжение на источнике питания. Если оно меньше чем пороговое значение |U| < 1,2 В, то ток течь не будет. В результате получаем зависимость напряжения на резисторе, показанную на рисунке сплошной красной линией (не прорисованы горизонтальные участки с нулевым значением напряжения).

Период колебаний напряжения на резисторе в два раза меньше периода колебаний напряжения на источнике питания, то есть равен T_R 1/2 f  =  0,01 с.

Посчитаем длительность времени, в течении которого ток через резистор отсутствует. Моменты времени, когда ток прекращается (или оканчивается время его отсутствия) определяются уравнением

$U_0| синус левая круглая скобка 2 Пи f t правая круглая скобка |=1,2В,$ $синус левая круглая скобка 2 Пи f t правая круглая скобка =0,1.$

Для самого первого момента (обозначим его $\Delta t$ ) это уравнение может быть с хорошей точностью решено приближённо:

$2 Пи f \Delta t=0.1,$ $\Delta t= дробь: числитель: 0.1, знаменатель: 2 Пи f конец дроби .$

Доля времени, в течение которого ток отсутствует, определяется соотношением

$дробь: числитель: 2 \Delta t, знаменатель: T_R конец дроби = дробь: числитель: 2 умножить на 0,1, знаменатель: 2 Пи f конец дроби 2 f= дробь: числитель: 0,2, знаменатель: Пи конец дроби \approx 6 \%.$

Если ключ K замкнут, то на конденсаторе возникнет некоторый ненулевой заряд. Поскольку диоды пропускают ток только в одном направлении, то этот заряд всегда будет оставаться одного знака. Ток через диоды неограничен, поэтому напряжение на конденсаторе U_R не может быть меньше чем приходящее напряжение от источника через два диода,

$U_R больше или равно U_0| синус левая круглая скобка 2 Пи f t правая круглая скобка | минус 1,2B.$

Отсюда заключаем, что максимальное значение напряжения на конденсаторе, которое достигается в течение каждого периода, равно U_R,max  =  10,8.

После достижения максимума, напряжение от источника питания начинает падать. В результате конденсатор начинает разряжаться через резистор. Если бы конденсатор имел бесконечную ёмкость, то напряжение на резисторе оставалось бы всегда равным U_R,max. Однако поскольку ёмкость конденсатора конечна, то в некоторый момент периода колебаний скорость разряжения конденсатора начинает отставать от темпов падения напряжения от источника. После этого момента напряжение на резисторе определяется только зарядом конденсатора, а ток через источник оказывается равным нулю.

Для того, чтобы понять степень разрядки конденсатора в течение одного периода колебаний, оценим время разрядки R-C цепи:

$\tau = RC = 2сек.$

Это время значительно превышает период колебаний напряжения $\tau больше больше T_R.$ Отсюда следует, что конденсатор разряжается слабо, см. рис. С другой стороны, он разряжается почти весь период колебаний, поскольку скорость его разрядки почти всегда медленнее, чем темп изменения напряжения на источнике питания. Таким образом, заряд Q, прошедший через резистор за время разрядки конденсатора, и соответствующее ему падение напряжения $\Delta U$ на конденсаторе, равны

$Q= дробь: числитель: U_R, max, знаменатель: R конец дроби T_R,$ $\Delta U= дробь: числитель: Q, знаменатель: C конец дроби = дробь: числитель: T_R, знаменатель: R C конец дроби U_R, max \approx 0,05B.$

Ответ: 1) $U_0| синус левая круглая скобка 2 Пи f t правая круглая скобка |=1,2В,$ $дробь: числитель: 2 \Delta t, знаменатель: T_R конец дроби = дробь: числитель: 0,2, знаменатель: Пи конец дроби \approx 6 \%;$ 2) U_R,max  =  10,8 В.

Критерии по заданию	Баллы
Определено, что ток течёт только через пары противоположно расположенных диодов, если амплитуда напряжения больше 1.2 В (найдено максимальное напряжение)	4
Установлен период колебаний (несменяемость знака напряжения на резисторе)	4
Установлена длительность отсутствия напряжения на резисторе	4
Найдено время разрядки цепи резистор-конденсатор	4
Оценена амплитуда флуктуаций напряжения на конденсаторе	4

№ п/п	№ задания	Ответ
1	264	1) $U_0\| синус левая круглая скобка 2 Пи f t правая круглая скобка \|=1,2В,$ $дробь: числитель: 2 \Delta t, знаменатель: T_R конец дроби = дробь: числитель: 0,2, знаменатель: Пи конец дроби \approx 6 \%;$ 2) U_R,max  =  10,8 В.