PDF-версии: 
На востоке Византии в IV-V веках под влиянием религиозной мысли появилась альтернативная модель Земли, несмотря на уже имевшуюся с античных времён идею её шарообразности: Земля представляет из себя гору, помещённую в нечто вроде сундука. Будем считать, что сундук представляет из себя куб с одинаковыми по массе гранями и длиной ребра 10 тыс. км. Вне сундука пустота. Гора представляет из себя пирамиду с вершиной в центре куба. Основание горы совпадает с одной из граней куба. Гора имеет однородную по своему объёму плотность. Какова должна быть эта плотность для того, чтобы на вершине горы ускорение свободного падения было равно g = 10 м/c2? Считать, что работает закон всемирного тяготения. Ньютона, гравитационная постоянная G = 6,7 ∙ 10-11 м3/(с2 ∙ кг).
Решение. Сначала заметим, что поскольку вершина горы находится в центре симметричного куба, то стенки куба не создают гравитационной силы на вершине горы.
Далее, пусть массовая плотность материала горы равна 
Согласно условию задачи, высота горы равна h = 5 тыс. км. Из соображений симметрии заключаем, что ускорение свободного падения, создаваемое горой, на её вершине будет направлено перпендикулярно её основанию. Ведём декартову систему координат с началом на вершине горы, ось z направим нормально к основанию горы и назовём вертикалью.
Разобьём гору на горизонтальные слои малой толщины 
z. Покажем, что вклад в ускорение свободного падения от каждого слоя одинаков. Действительно, возьмём элемент слоя на уровне z в форме прямоугольного параллелепипеда с горизонтальными размерами x, y на расстоянии 
от вертикали; для более ясного геометрического представления будем считать, что этот параллелепипед плоский,
x, y >> z.
Вклад в -компоненту ускорения на вершине горы от этого элемента равен
Здесь M – масса элемента объёма горы, 
– угол между вертикалью и линией, соединяющей элемент горы и её вершину. Заметим теперь, что комбинация 
есть телесный угол o, под которым видно основание параллелепипеда с вершины горы.
Таким образом, вклад от элемента равен
Весь слой виден под телесным углом в 1/6 от полного телесного угла (поскольку это телесный угол, под которым из центра куба видна одна из его граней, а их 6), то есть 4
/6 = 2/3. Таким образом, вклад от целого слоя толщиной z равен (2/3) G
z.
Вклад от всей горы равен
Подставляя численные значения, приходим к тому, что плотность равна 
14000 кг/ м3.
То, что Земля имеет форму шара, было известно уже Аристотелю (IV век до н. э.). Вслед за ним Аристарх Самосский на основании астрономических наблюдений сделал попытку соотнести размеры Земли, Луны и Солнца (все три принимались шарообразными телами).
В результате идея о шарообразности Земли стала наиболее распространённым представлением о форме Земли в античном мире, см., например, [1, Часть I, Глава 7].
Однако с наступлением христианской эры, особенно в восточной части Римской империи, интересы общества сместились в религиозно-идеологическую область. Теоретическое осмысление естественно-научных данных практически остановилось, хотя технология и не стояла на месте. Наоборот, уже имевшиеся теоретические представления о шарообразной форме Земли в Византии во многом уступили место ненаучным представлениям. Одним из заставивших отвергнуть правильное представление, было идеологическое убеждение о невозможности существования
“антиподов” – людей, живущих на противоположное стороне Земли и поэтому перевёрнутых относительно живущих в Византии. Более подробно об этом см., например, соображений,
Для современной физики, по-видимому, наиболее ценным будет следующий вывод из этой истории: физика является наукой экспериментальной, в которой теоретические модели вырабатываются на основе объективных фактов. Именно это является залогом дальнейшего успеха физики в социальном плане; в конечном итоге только в этом случае физики будут продолжать делать открытия, прокладывающие дорогу техническому прогрессу, достигающему каждого человека. В античной греческой культуре не было идеи систематической с экспериментальными данными. Соответственно, не было и системной работы в противоположном направлении – не было выработки новых теоретических моделей, более адекватных реальности и претендующих на всё большую общность. Вопреки этому считалось, что наиболее качественная теория должна быть выведена исключительно из умозрительных построений. Поэтому, когда фокус философского интереса в Византии сместился от природы к мистицизму, античная естественная наука как общественное явление не смогла отбиться от новых идеологем и продолжить своё поступательное развитие. сравнения их предсказаний верификации теорий путём.
Ответ: 14000 кг/м3.
| Критерии по заданию | Баллы |
|---|---|
| Показано, что вектор g направлен вертикально вниз | 1 |
| Записан вклад в вертикальную проекцию суммарной силы (или g) от бесконечно малого элемента массы пирамиды | 5 |
| Предложен метод определения вклада в вертикальную проекцию суммарной силы (или g) от плоского слоя (через переход к телесному углу или иным образом) | 9 |
| Вклад от слоев просуммирован и получено выражение для g | 4 |
| Получено численное значение для плотности | 1 |
| Неправильное решение, сводящееся к отысканию центра тяжести пирамиды и затем применению к нему закона всемирного тяготения, считается правильной оценкой | ВСЕГО 6 |