Сна­ча­ла за­ме­тим, что по­сколь­ку вер­ши­на горы на­хо­дит­ся в цен­тре сим­мет­рич­но­го куба, то стен­ки куба не со­зда­ют гра­ви­та­ци­он­ной силы на вер­ши­не горы.

Далее, пусть мас­со­вая плот­ность ма­те­ри­а­ла горы равна Со­глас­но усло­вию за­да­чи, вы­со­та горы равна h  =  5 тыс. км. Из со­об­ра­же­ний сим­мет­рии за­клю­ча­ем, что уско­ре­ние сво­бод­но­го па­де­ния, со­зда­ва­е­мое горой, на её вер­ши­не будет на­прав­ле­но пер­пен­ди­ку­ляр­но её ос­но­ва­нию. Ведём де­кар­то­ву си­сте­му ко­ор­ди­нат с на­ча­лом на вер­ши­не горы, ось z на­пра­вим нор­маль­но к ос­но­ва­нию горы и назовём вер­ти­ка­лью.

Разобьём гору на го­ри­зон­таль­ные слои малой тол­щи­ны z. По­ка­жем, что вклад в уско­ре­ние сво­бод­но­го па­де­ния от каж­до­го слоя оди­на­ков. Дей­стви­тель­но, возьмём эле­мент слоя на уров­не z в форме пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да с го­ри­зон­таль­ны­ми раз­ме­ра­ми x, y на рас­сто­я­нии от вер­ти­ка­ли; для более яс­но­го гео­мет­ри­че­ско­го пред­став­ле­ния будем счи­тать, что этот па­рал­ле­ле­пи­пед плос­кий,

x, y >> z.

Вклад в -ком­по­нен­ту уско­ре­ния на вер­ши­не горы от этого эле­мен­та равен

Здесь M – масса эле­мен­та объёма горы,  – угол между вер­ти­ка­лью и ли­ни­ей, со­еди­ня­ю­щей эле­мент горы и её вер­ши­ну. За­ме­тим те­перь, что ком­би­на­ция есть те­лес­ный угол o, под ко­то­рым видно ос­но­ва­ние па­рал­ле­ле­пи­пе­да с вер­ши­ны горы.

Таким об­ра­зом, вклад от эле­мен­та равен

Весь слой виден под те­лес­ным углом в 1/6 от пол­но­го те­лес­но­го угла (по­сколь­ку это те­лес­ный угол, под ко­то­рым из цен­тра куба видна одна из его гра­ней, а их 6), то есть 4/6  =  2/3. Таким об­ра­зом, вклад от це­ло­го слоя тол­щи­ной z равен (2/3) Gz.

Вклад от всей горы равен

Под­став­ляя чис­лен­ные зна­че­ния, при­хо­дим к тому, что плот­ность равна   14000 кг/ м³.

То, что Земля имеет форму шара, было из­вест­но уже Ари­сто­те­лю (IV век до н. э.). Вслед за ним Ари­старх Са­мос­ский на ос­но­ва­нии аст­ро­но­ми­че­ских на­блю­де­ний сде­лал по­пыт­ку со­от­не­сти раз­ме­ры Земли, Луны и Солн­ца (все три при­ни­ма­лись ша­ро­об­раз­ны­ми те­ла­ми).

В ре­зуль­та­те идея о ша­ро­об­раз­но­сти Земли стала наи­бо­лее рас­про­странённым пред­став­ле­ни­ем о форме Земли в ан­тич­ном мире, см., на­при­мер, [1, Часть I, Глава 7].

Од­на­ко с на­ступ­ле­ни­ем хри­сти­ан­ской эры, осо­бен­но в во­сточ­ной части Рим­ской им­пе­рии, ин­те­ре­сы об­ще­ства сме­сти­лись в ре­ли­ги­оз­но-идео­ло­ги­че­скую об­ласть. Тео­ре­ти­че­ское осмыс­ле­ние есте­ствен­но-на­уч­ных дан­ных прак­ти­че­ски оста­но­ви­лось, хотя тех­но­ло­гия и не сто­я­ла на месте. На­о­бо­рот, уже имев­ши­е­ся тео­ре­ти­че­ские пред­став­ле­ния о ша­ро­об­раз­ной форме Земли в Ви­зан­тии во мно­гом усту­пи­ли место не­на­уч­ным пред­став­ле­ни­ям. Одним из за­ста­вив­ших от­верг­нуть пра­виль­ное пред­став­ле­ние, было идео­ло­ги­че­ское убеж­де­ние о не­воз­мож­но­сти су­ще­ство­ва­ния

“ан­ти­по­дов” – людей, жи­ву­щих на про­ти­во­по­лож­ное сто­ро­не Земли и по­это­му перевёрну­тых от­но­си­тель­но жи­ву­щих в Ви­зан­тии. Более по­дроб­но об этом см., на­при­мер, со­об­ра­же­ний,

Для со­вре­мен­ной фи­зи­ки, по-ви­ди­мо­му, наи­бо­лее цен­ным будет сле­ду­ю­щий вывод из этой ис­то­рии: фи­зи­ка яв­ля­ет­ся на­у­кой экс­пе­ри­мен­таль­ной, в ко­то­рой тео­ре­ти­че­ские мо­де­ли вы­ра­ба­ты­ва­ют­ся на ос­но­ве объ­ек­тив­ных фак­тов. Имен­но это яв­ля­ет­ся за­ло­гом даль­ней­ше­го успе­ха фи­зи­ки в со­ци­аль­ном плане; в ко­неч­ном итоге толь­ко в этом слу­чае фи­зи­ки будут про­дол­жать де­лать от­кры­тия, про­кла­ды­ва­ю­щие до­ро­гу тех­ни­че­ско­му про­грес­су, до­сти­га­ю­ще­му каж­до­го че­ло­ве­ка. В ан­тич­ной гре­че­ской куль­ту­ре не было идеи си­сте­ма­ти­че­ской с экс­пе­ри­мен­таль­ны­ми дан­ны­ми. Со­от­вет­ствен­но, не было и си­стем­ной ра­бо­ты в про­ти­во­по­лож­ном на­прав­ле­нии – не было вы­ра­бот­ки новых тео­ре­ти­че­ских мо­де­лей, более адек­ват­ных ре­аль­но­сти и пре­тен­ду­ю­щих на всё боль­шую общ­ность. Во­пре­ки этому счи­та­лось, что наи­бо­лее ка­че­ствен­ная тео­рия долж­на быть вы­ве­де­на ис­клю­чи­тель­но из умо­зри­тель­ных по­стро­е­ний. По­это­му, когда фокус фи­ло­соф­ско­го ин­те­ре­са в Ви­зан­тии сме­стил­ся от при­ро­ды к ми­сти­циз­му, ан­тич­ная есте­ствен­ная наука как об­ще­ствен­ное яв­ле­ние не смог­ла от­бить­ся от новых идео­ло­гем и про­дол­жить своё по­сту­па­тель­ное раз­ви­тие. срав­не­ния их пред­ска­за­ний ве­ри­фи­ка­ции тео­рий путём.

Ответ: 14000 кг/м³.