РЕШУ ОЛИМП — физика

Задания

Дан длинный тонкий прямой стержень, однородно заряженный вдоль своей длины. Противоположно заряженная маленькая частица должна вращаться в плоскости, ортогональной стержню, с угловой скоростью $\omega$ для того, чтобы оставаться на расстоянии 1 см от неподвижного стержня. Пусть теперь система из двух параллельных стержней, разделенных расстоянием 2 см и обладающих той же погонной плотностью заряда на каждом из них, вращается с той же угловой скоростью $\omega$ вокруг оси, параллельной стержням и находящейся посередине между ними. Найдите все точки, в которых та же заряженная маленькая частица может оставаться неподвижной относительно вращающихся стержней, если к ней не прикладывать никаких дополнительных внешних сил. Силами гравитационного и магнитного взаимодействий пренебречь.

Решение. Сначала определим, как действует один заряженный стержень на заряженную маленькую частицу. Пусть погонная плотность заряда на стержне равна $\rho,$ а заряд частицы равен – q, её масса равна m. Электрическое поле имеет аксиально симметричное распределение в пространстве и направлено везде от стержня. Его величина E(r) может быть определена из теоремы Гаусса:

$2 Пи r E левая круглая скобка r правая круглая скобка =4 Пи \rho,$ то есть $E левая круглая скобка r правая круглая скобка = дробь: числитель: 2 \rho, знаменатель: r конец дроби .$

Таким образом, сила притяжения действующая со стороны стержня на частицу, равна $F=2 \rho q / r.$ При вращении заряда вокруг стержня по круговой орбите с r₀  =  1 см сила притяжения компенсируется центробежной силой m $\omega в квадрате$ r :

$дробь: числитель: 2q\rho, знаменатель: r_0 конец дроби =m\omega в квадрате r_0,$  то есть  $дробь: числитель: 2q\rho, знаменатель: m\omega в квадрате конец дроби =r_0 в квадрате .$

Теперь перейдём к отысканию точек равновесия для системы двух вращающихся стержней. Система, связанная со стержнями, является вращающейся и потому неинерциальной. В ней возникает дополнительная сила, действующая на частицу – сила инерции. Введём декартову систему координат в плоскости, ортогональной стержням. Начало системы расположим посередине между стержнями (относительно оси проходящей через эту точку, происходит вращение), ось O_x направим вдоль отрезка, соединяющего стержни.

Сила инерции должна компенсировать электростатическую силу, действующую на частицу. Поскольку сила инерции направлена по радиус-вектору, то в точках равновесия электростатическая сила должна быть противоположно направлена радиус-вектору. Из соображений симметрии ясно, что такие точки могут находиться только на осях координат.

Самой простоя для нахождения точкой равновесия №1 является начало координат (0,0).

Двумя другими точками равновесия №2 и №3 являются точки ( $\pm x,$ 0), при этом расстояние x удовлетворяет уравнению

$дробь: числитель: x, знаменатель: r_0 в квадрате конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: x плюс r_0 конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: x минус r_0 конец дроби = дробь: числитель: 2 x, знаменатель: x в квадрате минус r_0 в квадрате конец дроби .$

Слева написана центробежная сила (делённая на m $\omega в квадрате$ ), справа компенсирующие её силы притяжения к обоим стержням (также делённые на m $\omega в квадрате$ ). Таким образом,

$x в квадрате =3 r_0 в квадрате$  , то есть $x= корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента r_0= корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента см.$

Далее, есть ещё две точки равновесия №4 и №5 с координатами (0, $\pm$ ). Для этих точек получаем аналогичное уравнение:

$дробь: числитель: y, знаменатель: r_0 в квадрате конец дроби =2 дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из: начало аргумента: y в степени левая круглая скобка 2 конец аргумента плюс r_0 правая круглая скобка в квадрате конец дроби дробь: числитель: y, знаменатель: корень из: начало аргумента: y в степени левая круглая скобка 2 конец аргумента плюс r_0 правая круглая скобка в квадрате конец дроби = дробь: числитель: 2 y, знаменатель: y в квадрате плюс r_0 в квадрате конец дроби ,$

где $y / корень из: начало аргумента: y в степени левая круглая скобка 2 конец аргумента плюс r_0 правая круглая скобка в квадрате$ есть косинус угла между направлением силы притяжения частицы к стержню и осью O_y. В результате

$y в квадрате =r_0 в квадрате$  , то есть $y=r_0=1см.$

Найденные точки являются аналогами точек Лагранжа для трёх-мерного случая, когда вместо двух стержней имеются два гравитационного центра притяжений, а скорость вращения $\omega$ есть угловая скорость обращения двух гравитационных центров вокруг друг друга. Однако в трёх-мерном случае уравнения, определяющие положения этих точек, оказываются заметно сложнее.

Ответ: $x= корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента r_0= корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента см;$ $y=r_0=1см.$

Критерии по заданию	Баллы
Получено соотношение между плотностью заряда стержней, массой частицы, угловой частотой вращения и радиусом вращения	3
Записана центробежная сила во вращающейся системе координат. Записаны силы, действующие на частицу, и описано ее движение в выбранной системе координат	2
Записана равнодействующая сила, действующая на частицу во вращающейся системе координат, как сумма трёх сил	5
Записано условие неподвижности частицы относительно стержней	2
Получена точка на оси вращения стержней	1
Получены точки, лежащие на прямой, перпендикулярной стержням и проходящей через них	3
Получены две оставшиеся точки	4

№ п/п	№ задания	Ответ
1	279	$x= корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента r_0= корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента см;$ $y=r_0=1см.$

Ключ