Сна­ча­ла опре­де­лим, как дей­ству­ет один за­ря­жен­ный стер­жень на за­ря­жен­ную ма­лень­кую ча­сти­цу. Пусть по­гон­ная плот­ность за­ря­да на стерж­не равна а заряд ча­сти­цы равен – q, её масса равна m. Элек­три­че­ское поле имеет ак­си­аль­но сим­мет­рич­ное рас­пре­де­ле­ние в про­стран­стве и на­прав­ле­но везде от стерж­ня. Его ве­ли­чи­на E(r) может быть опре­де­ле­на из тео­ре­мы Гаус­са:

Таким об­ра­зом, сила при­тя­же­ния дей­ству­ю­щая со сто­ро­ны стерж­ня на ча­сти­цу, равна При вра­ще­нии за­ря­да во­круг стерж­ня по кру­го­вой ор­би­те с r₀  =  1 см сила при­тя­же­ния ком­пен­си­ру­ет­ся цен­тро­беж­ной силой mr :

Те­перь пе­рейдём к отыс­ка­нию точек рав­но­ве­сия для си­сте­мы двух вра­ща­ю­щих­ся стерж­ней. Си­сте­ма, свя­зан­ная со стерж­ня­ми, яв­ля­ет­ся вра­ща­ю­щей­ся и по­то­му не­инер­ци­аль­ной. В ней воз­ни­ка­ет до­пол­ни­тель­ная сила, дей­ству­ю­щая на ча­сти­цу – сила инер­ции. Введём де­кар­то­ву си­сте­му ко­ор­ди­нат в плос­ко­сти, ор­то­го­наль­ной стерж­ням. На­ча­ло си­сте­мы рас­по­ло­жим по­се­ре­ди­не между стерж­ня­ми (от­но­си­тель­но оси про­хо­дя­щей через эту точку, про­ис­хо­дит вра­ще­ние), ось O_x на­пра­вим вдоль от­рез­ка, со­еди­ня­ю­ще­го стерж­ни.

Сила инер­ции долж­на ком­пен­си­ро­вать элек­тро­ста­ти­че­скую силу, дей­ству­ю­щую на ча­сти­цу. По­сколь­ку сила инер­ции на­прав­ле­на по ра­ди­ус-век­то­ру, то в точ­ках рав­но­ве­сия элек­тро­ста­ти­че­ская сила долж­на быть про­ти­во­по­лож­но на­прав­ле­на ра­ди­ус-век­то­ру. Из со­об­ра­же­ний сим­мет­рии ясно, что такие точки могут на­хо­дить­ся толь­ко на осях ко­ор­ди­нат.

Самой про­стоя для на­хож­де­ния точ­кой рав­но­ве­сия №1 яв­ля­ет­ся на­ча­ло ко­ор­ди­нат (0,0).

Двумя дру­ги­ми точ­ка­ми рав­но­ве­сия №2 и №3 яв­ля­ют­ся точки ( 0), при этом рас­сто­я­ние x удо­вле­тво­ря­ет урав­не­нию

Слева на­пи­са­на цен­тро­беж­ная сила (делённая на m), спра­ва ком­пен­си­ру­ю­щие её силы при­тя­же­ния к обоим стерж­ням (также делённые на m). Таким об­ра­зом,

Далее, есть ещё две точки рав­но­ве­сия №4 и №5 с ко­ор­ди­на­та­ми (0,). Для этих точек по­лу­ча­ем ана­ло­гич­ное урав­не­ние:

где есть ко­си­нус угла между на­прав­ле­ни­ем силы при­тя­же­ния ча­сти­цы к стерж­ню и осью O_y. В ре­зуль­та­те

Най­ден­ные точки яв­ля­ют­ся ана­ло­га­ми точек Лагран­жа для трёх-мер­но­го слу­чая, когда вме­сто двух стерж­ней име­ют­ся два гра­ви­та­ци­он­но­го цен­тра при­тя­же­ний, а ско­рость вра­ще­ния есть уг­ло­вая ско­рость об­ра­ще­ния двух гра­ви­та­ци­он­ных цен­тров во­круг друг друга. Од­на­ко в трёх-мер­ном слу­чае урав­не­ния, опре­де­ля­ю­щие по­ло­же­ния этих точек, ока­зы­ва­ют­ся за­мет­но слож­нее.

Ответ: