РЕШУ ОЛИМП — физика

Задания

Миражи появляются из-за неоднородности распределения показателя преломления в атмосфере. Пусть показатель преломления атмосферы n(z) однороден по горизонтали, а по вертикали имеет зависимость: $n левая круглая скобка z правая круглая скобка =1 плюс \Delta n,$ при z < H, $n левая круглая скобка z правая круглая скобка =1 плюс 2\Delta n /3 плюс \Delta n левая круглая скобка H плюс h минус z правая круглая скобка /3h$ при H < z < H + h. На высотах z > H + h показатель преломления увеличивается и постепенно возвращается на значение у поверхности Земли. Константа $\Delta n=3 умножить на 10 в степени левая круглая скобка минус 4 правая круглая скобка ,$ высоты H  =  200 м, h  =  200 м. Каково минимальное расстояние по горизонтали, на котором предмет, расположенный на поверхности Земли, будет виден расположенным в небе? Под каким углом к горизонту он будет виден на этом расстоянии?

Решение. Рассматривая преломление луча в атмосфере, можно мысленно разбить её на настолько тонкие слои, что в пределах каждого слоя показатель преломления можно считать однородным. Запишем закон Снелла:

$n косинус \varphi левая круглая скобка z правая круглая скобка =\text const = левая круглая скобка 1 плюс \Delta n правая круглая скобка косинус \theta$

Используя закон Снелла, возможно определить траекторию луча. В общем случае уравнение, определяющее эту траекторию, оказывается сложным. Однако в нашем случае есть упрощающие обстоятельства: малость углов и линейная зависимость показателя преломления. Действительно, во-первых, углы малые, поскольку разница между показателем преломления и единицей мала, 1 - n << 1. Тогда

$n косинус \varphi \approx левая круглая скобка 1 плюс левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка правая круглая скобка левая круглая скобка 1 минус дробь: числитель: \varphi в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка \approx 1 плюс левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка минус дробь: числитель: \varphi в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби ,$

а закон Снелла можно переписать в приближённом виде

$дробь: числитель: \varphi в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: \theta в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби плюс левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка минус \Delta n$

Снова используя малость угла $\varphi$ замечаем, что $0 синус \varphi \approx тангенс \varphi$  , то есть

$\varphi$   =   $дробь: числитель: dz, знаменатель: dx конец дроби .$

Теперь, во-вторых, используем линейность зависимости показателя преломления от высоты и перепишем уравнение (2):

$дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка дробь: числитель: d z, знаменатель: d x конец дроби правая круглая скобка в квадрате плюс дробь: числитель: \Delta n, знаменатель: 3 h конец дроби левая круглая скобка z минус H правая круглая скобка = дробь: числитель: \theta в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби$  (3)

Это уравнение описывает движение частицы массой 1 в гравитационном моле с ускорением свободного падения равным $\Delta/3h,$ направленным противоположно направлению оси O_z , причём роль времени играет горизонтальная координата x . Величина $\theta в квадрате /2$ есть полная энергия системы.

Уравнение (3), напомним, применимо в области H < z <  H + h. Если луч выходит в область z > H + h, то он уже не вернётся к поверхности Земли. Отсюда заключаем, что максимальный угол приходящего луча $\theta_max= корень из: начало аргумента: 2 \Delta n / 3 конец аргумента .$ Теперь, если  $\theta меньше \theta_m_a_x,$ то максимальная высота, которую достигает траектория луча, равна

$z_max минус H= дробь: числитель: h, знаменатель: \Delta n / 3 конец дроби дробь: числитель: \theta в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби$

Горизонтальное расстояние l, которое пройдёт луч, пока проходит через верхний слой атмосферы, равно удвоенному времени свободного падения с нулевой начальной скоростью на высоту z_max - H, то есть

$l=2 корень из: начало аргумента: дробь: числитель: 2 левая круглая скобка z_max конец аргумента минус H правая круглая скобка , знаменатель: \Delta n / 3 h конец дроби =2 дробь: числитель: h, знаменатель: \Delta n / 3 конец дроби \theta$

Полное расстояние между точкой испускания луча и точкой его возвращения на поверхность Земли равно

$X=2 левая круглая скобка дробь: числитель: H, знаменатель: \theta конец дроби плюс дробь: числитель: h, знаменатель: \Delta n / 3 конец дроби \theta правая круглая скобка$

Минимальное расстояние соответствует минимуму выражения справа, которое достигается при

$\theta_min= корень из: начало аргумента: дробь: числитель: H, знаменатель: h конец дроби конец аргумента корень из: начало аргумента: \Delta n / 3 конец аргумента =0.01$ чему соответствует $z_max, min минус H= дробь: числитель: H, знаменатель: 2 конец дроби$

Минимум достигается только если H $меньше$  2h, в нашем случае это условие выполняется.

Само расстояние по горизонтали

$X_min= дробь: числитель: 4 корень из: начало аргумента: h H конец аргумента , знаменатель: корень из: начало аргумента: \Delta n / 3 конец аргумента конец дроби =80$  км.

Ответ: $X_min= дробь: числитель: 4 корень из: начало аргумента: h H конец аргумента , знаменатель: корень из: начало аргумента: \Delta n / 3 конец аргумента конец дроби =80$  км.

Критерии по заданию	Баллы
Исходя из зависимости показателя преломления от высоты, описано движение луча и объяснено, почему он возвращается к поверхности земли	4
Записан закон Снелла	2
Получено уравнение траектории луча (либо приведен аналогичные метод, с помощью которого можно определить расстояние, пройденное светом, и угол к горизонту)	10
Получено расстояние между точками испускания и возвращения луча.	2
Получен угол к горизонту, под которым испускается луч	2

№ п/п	№ задания	Ответ
1	280	$X_min= дробь: числитель: 4 корень из: начало аргумента: h H конец аргумента , знаменатель: корень из: начало аргумента: \Delta n / 3 конец аргумента конец дроби =80$  км.

Ключ