Рас­смат­ри­вая пре­лом­ле­ние луча в ат­мо­сфе­ре, можно мыс­лен­но раз­бить её на на­столь­ко тон­кие слои, что в пре­де­лах каж­до­го слоя по­ка­за­тель пре­лом­ле­ния можно счи­тать од­но­род­ным. За­пи­шем закон Снел­ла:

Ис­поль­зуя закон Снел­ла, воз­мож­но опре­де­лить тра­ек­то­рию луча. В общем слу­чае урав­не­ние, опре­де­ля­ю­щее эту тра­ек­то­рию, ока­зы­ва­ет­ся слож­ным. Од­на­ко в нашем слу­чае есть упро­ща­ю­щие об­сто­я­тель­ства: ма­лость углов и ли­ней­ная за­ви­си­мость по­ка­за­те­ля пре­лом­ле­ния. Дей­стви­тель­но, во-пер­вых, углы малые, по­сколь­ку раз­ни­ца между по­ка­за­те­лем пре­лом­ле­ния и еди­ни­цей мала, 1 - n << 1. Тогда

а закон Снел­ла можно пе­ре­пи­сать в при­ближённом виде

Снова ис­поль­зуя ма­лость угла за­ме­ча­ем, что  , то есть

Те­перь, во-вто­рых, ис­поль­зу­ем ли­ней­ность за­ви­си­мо­сти по­ка­за­те­ля пре­лом­ле­ния от вы­со­ты и пе­ре­пи­шем урав­не­ние (2):

Это урав­не­ние опи­сы­ва­ет дви­же­ние ча­сти­цы мас­сой 1 в гра­ви­та­ци­он­ном моле с уско­ре­ни­ем сво­бод­но­го па­де­ния рав­ным на­прав­лен­ным про­ти­во­по­лож­но на­прав­ле­нию оси O_z , причём роль вре­ме­ни иг­ра­ет го­ри­зон­таль­ная ко­ор­ди­на­та x . Ве­ли­чи­на есть пол­ная энер­гия си­сте­мы.

Урав­не­ние (3), на­пом­ним, при­ме­ни­мо в об­ла­сти H < z <  H + h. Если луч вы­хо­дит в об­ласть z > H + h, то он уже не вернётся к по­верх­но­сти Земли. От­сю­да за­клю­ча­ем, что мак­си­маль­ный угол при­хо­дя­ще­го луча Те­перь, если  то мак­си­маль­ная вы­со­та, ко­то­рую до­сти­га­ет тра­ек­то­рия луча, равна

Го­ри­зон­таль­ное рас­сто­я­ние l, ко­то­рое пройдёт луч, пока про­хо­дит через верх­ний слой ат­мо­сфе­ры, равно удво­ен­но­му вре­ме­ни сво­бод­но­го па­де­ния с ну­ле­вой на­чаль­ной ско­ро­стью на вы­со­ту z_max - H, то есть

Пол­ное рас­сто­я­ние между точ­кой ис­пус­ка­ния луча и точ­кой его воз­вра­ще­ния на по­верх­ность Земли равно

Ми­ни­маль­ное рас­сто­я­ние со­от­вет­ству­ет ми­ни­му­му вы­ра­же­ния спра­ва, ко­то­рое до­сти­га­ет­ся при

Ми­ни­мум до­сти­га­ет­ся толь­ко если H 2h, в нашем слу­чае это усло­вие вы­пол­ня­ет­ся.

Само рас­сто­я­ние по го­ри­зон­та­ли

Ответ:  км.