Две одинаковые маленькие бусинки массой m каждая могут двигаться без трения по гладкому горизонтальному стержню. Бусинки связаны легкой нерастяжимой нитью длиной l = 1,5 м. К середине нити прикреплена еще одна похожая бусинка массой 2m. Вначале эту бусинку удерживают так, что нить не натянута, но практически не провисает, затем бусинку отпускают, в результате система начинает двигаться без рывков. Найдите скорости бусинок в момент, когда средняя бусинка опустилась по вертикали на расстояние h = 0,45 м от первоначального положения (см. рис.). Считая m = 0,1 кг, определите, чему равна сила натяжения нити в этот момент времени.
Решение. Пусть, для указанного в условии момента времени, скорости крайних бусинок равны υ, а скорость средней бусинки — u, при этом нить образует с вертикалью угол
(см. рис.).
Из условия нерастяжимости нити, следует:
откуда 
Закон сохранения энергии:
Имеем:
Обозначим силу натяжения нити T, ускорения крайних бусинок a1, а средней бусинки a2. Запишем систему уравнений динамики и условие связи ускорений:

откуда 
Ответ: υ = 1,8 м/с; u = 2,4 м/с; T = 0,6 Н.
Критерии проверки:| Критерии оценивания | Баллы |
|---|
| Есть понимание, что скорости и ускорения крайних бусинок равны | 2 балла |
| Получена связь скоростей υ крайних и u средней бусинок 1 балл, если эта формула записана без обоснования | 2 балла |
| Записан закон сохранения энергии | 2 балла |
| При наличии всех верных формул проделаны необходимые алгебраические преобразования и получены формулы для скоростей бусинок υ и u Минус 1 балл, если в преобразованиях пропущены важные логические шаги или преобразования недостаточные | 2 балла |
| Сделаны подстановки числовых значений и получены правильные числовые ответы для скоростей бусинок v и u | 1 балл |
| Сделан рисунок и показаны силы, действующие на бусинки | 2 балла |
| Записана связь ускорений бусинок a1 и a2 | 2 балла |
| Записаны уравнения динамики для крайней и средней бусинок | 2 балла |
| При наличии всех верных уравнений системы проделаны необходимые алгебраические преобразования и получен ответ 1 балл, если в преобразованиях пропущены важные логические шаги или преобразования недостаточные 0 баллов, если преобразования отсутствуют или в них допущены ошибки | 2 балла |
| Сделаны подстановки числовых значений и получен правильный числовой ответ для силы натяжения нити T | 1 балл |
| Максимальный балл | 18 баллов |
Ответ: υ = 1,8 м/с; u = 2,4 м/с; T = 0,6 Н.
7148
υ = 1,8 м/с; u = 2,4 м/с; T = 0,6 Н.