Оптическая система состоит из трёх собирающих линз. Все линзы идеальные, параллельны друг другу, их оптические центры лежат на одной оси. Первая линза имеет фокусное расстояние F1 = 100 мм. Вторая линза имеет фокусное расстояние F2 = 50 мм, расположена на расстоянии 150 мм справа от первой линзы. Третья линза, называемая объективом, расположенная на расстоянии L = 100 мм справа от второй линзы, имеет фокусное расстояние F3 = 10 мм. Слева на первую линзу падает два широких луча. Лучи и оптическая ось системы находятся в одной плоскости. Если принять, что оптическая ось системы ориентирована горизонтально, то первый луч падает сверху, образуя угол 2° с оптической осью, а второй луч падает снизу под тем же углом к оптической оси. Экран, параллельный линзе объектива, может двигаться вдоль оптической оси. Его расположили справа от объектива, так что лучи фокусируются на его поверхности. При проведении эксперимента была случайно задета вторая линза, в результате чего её ось повернулась в плоскости лучей на 5° по часовой стрелке относительно её центра, а сам её центр сместился в этой же плоскости на 2 мм вверх от исходной оптической оси системы. Теперь положения экрана, в которых фокусируется первый и второй лучи, перестали совпадать. Найдите расстояние между этими положениями экрана.
Решение. Исходная картина (см. рис. 1): лучи 1 и 2 падают под углом 
на линзу 1 и фокусируется в фокальной плоскости на расстоянии x от оптической оси: 
(малые углы). Эти изображения будем называть изображениями в первой линзе, они являются источниками для 2 линзы. Далее изображение от второй линзы источник для 3 линзы.
Рис. 1
Обозначим величиной d обозначено расстояние от источника до второй линзы вдоль наклонной оптической оси, буквой h с учётом знака (смещение вверх относительно оптической оси с плюсом, вниз — с минусом) обозначена высота источника над наклонной оптической осью.
Если бы 2 линза не была повернута, то расстояние от получившихся точек x и (–x) было бы одинаковым. Но в нашем случае 
(см. рис. 2).
Рис. 2
Рис. 3
Рассмотрим изменения положения 2 линзы. При движении и повороте второй линзы на β = 5° по часовой стрелке её оптическая ось перестала совпадать с исходной оптической осью системы и сдвинулась на l = 2 мм вверх. Более подробно надо найти DE. Треугольник 
подобен треугольнику OAM, что их соответствующие стороны пропорциональны, а углы равны. Отсюда вычислим длину отрезка OA: 
то есть 
Длина отрезка AM:
Выразим отрезки 
и 
: 
и
Отрезок 
равен 
при
Так,
есть расстояние от источников до 2 линзы вдоль оптической оси.
Вторая линза, с фокусным расстоянием F2 = 50 мм, будет переводить эти два источника в изображение на расстоянии от своего центра вдоль оптической оси по формуле тонкой линзы 2 линза переведет эти источники в изображения по формуле линзы
Высота этих изображений относительно наклонённой оптической оси будет выражаться через высоту источников света для второй линзы 
Высота изображения для 2 линзы:
Эти изображения в свою очередь будут источниками для линзы объектива, и можно посчитать, на каком расстоянии от центра линзы объектива будут фокусироваться в итоге два луча. Для этого посчитаем расстояние от центра второй линзы до изображений в проекции на главную (ненаклонённую) оптическую ось:
Тогда расстояние от центра 2 линзы до изображения в проекции на главной оптической оси (исходную):
Рис. 4
Здесь на рисунке 4 нарисовано изображение во второй линзе не в той конфигурации, в которой они находятся на самом деле. Изображение источников во второй линзе будут мнимыми, но данный рисунок позволяет верно и просто посчитать все зависимости, а мнимость-действительность изображений автоматически учтётся в формулах благодаря выбору разных знаков перед соответствующими величинами. Таким образом, мы можем получить расстояние от третьей линзы до изображений, образованных этой третьей линзой. Расстояние от источника для 3 линзы до центра 3 линзы: 
Тогда расстояние от 3 линзы до изображения
Для ответа на задачу необходимо посчитать расстояние между последними посчитанными изображениями: 
Для 
Для 
Таким образом,
Ответ: 24,4 мкм.
Критерии проверки:| Критерии | Балл |
|---|
| Нарисована оптическая схема | 2 балла |
| Посчитано, в каких точках располагается изображение каждого из пучков между двумя первыми линзами | 3 балла |
| Посчитаны положения изображений лучей во второй линзы | По 3 балла за каждое из двух изображений |
| Посчитано расстояние вдоль оптической оси системы от изображений пучков во второй линзе до третьей линзы (точно или явно указано, что можно пренебречь наклоном из-за малых углов) | По 3 балла за каждое из двух изображений (из них по 1 баллу за каждое изображение, если не учтён наклон) |
| Посчитано расстояние между двумя изображениями в линзе объектива | 2 балла |
| Дан ответ на задачу | 1 балл |
PDF-версии: горизонтальная · вертикальная · крупный шрифт · с большим полем
