РЕШУ ОЛИМП, физика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 21 № 7600 Добавить в вариант

Оптическая система состоит из трёх собирающих линз. Все линзы идеальные, параллельны друг другу, их оптические центры лежат на одной оси. Первая линза имеет фокусное расстояние F₁  =  100 мм. Вторая линза имеет фокусное расстояние F₂  =  50 мм, расположена на расстоянии 150 мм справа от первой линзы. Третья линза, называемая объективом, расположенная на расстоянии L  =  100 мм справа от второй линзы, имеет фокусное расстояние F₃  =  10 мм. Слева на первую линзу падает два широких луча. Лучи и оптическая ось системы находятся в одной плоскости. Если принять, что оптическая ось системы ориентирована горизонтально, то первый луч падает сверху, образуя угол 2° с оптической осью, а второй луч падает снизу под тем же углом к оптической оси. Экран, параллельный линзе объектива, может двигаться вдоль оптической оси. Его расположили справа от объектива, так что лучи фокусируются на его поверхности. При проведении эксперимента была случайно задета вторая линза, в результате чего её ось повернулась в плоскости лучей на 5° по часовой стрелке относительно её центра, а сам её центр сместился в этой же плоскости на 2 мм вверх от исходной оптической оси системы. Теперь положения экрана, в которых фокусируется первый и второй лучи, перестали совпадать. Найдите расстояние между этими положениями экрана.

Спрятать решение

Решение.

Исходная картина (см. рис. 1): лучи 1 и 2 падают под углом $альфа$ на линзу 1 и фокусируется в фокальной плоскости на расстоянии x от оптической оси: $x= \pm F_1 умножить на тангенс альфа \approx \pm F_1 умножить на альфа ,$ (малые углы). Эти изображения будем называть изображениями в первой линзе, они являются источниками для 2 линзы. Далее изображение от второй линзы источник для 3 линзы.

Рис. 1

Обозначим величиной d обозначено расстояние от источника до второй линзы вдоль наклонной оптической оси, буквой h с учётом знака (смещение вверх относительно оптической оси с плюсом, вниз  — с минусом) обозначена высота источника над наклонной оптической осью.

Если бы 2 линза не была повернута, то расстояние от получившихся точек x и (–x) было бы одинаковым. Но в нашем случае $d левая круглая скобка x правая круглая скобка не равно q d левая круглая скобка минус x правая круглая скобка$ (см. рис. 2).

Рис. 2

Рис. 3

Рассмотрим изменения положения 2 линзы. При движении и повороте второй линзы на β  =  5° по часовой стрелке её оптическая ось перестала совпадать с исходной оптической осью системы и сдвинулась на l  =  2 мм вверх. Более подробно надо найти DE. Треугольник $O в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка A C в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка$ подобен треугольнику OAM, что их соответствующие стороны пропорциональны, а углы равны. Отсюда вычислим длину отрезка OA: $O A=S_12 минус F_1 плюс O в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка A,$ то есть $O в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка A=l \ctg бета .$ Длина отрезка AM:

$A M=O A умножить на косинус бета =M C в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка плюс C в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка A.$

Выразим отрезки $C в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка A$ и $M C в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка$ : $C в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка A=l / синус бета$ и

$M C в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка = левая круглая скобка S_12 минус F_1 плюс l \ctg бета правая круглая скобка косинус бета минус дробь: числитель: l, знаменатель: синус бета конец дроби =$
$= левая круглая скобка S_12 минус F_1 правая круглая скобка косинус бета плюс l левая круглая скобка дробь: числитель: косинус бета , знаменатель: синус бета конец дроби умножить на косинус бета минус дробь: числитель: 1, знаменатель: синус бета конец дроби правая круглая скобка = левая круглая скобка S_12 минус F_1 правая круглая скобка косинус бета минус l синус бета .$ $M C в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка = левая круглая скобка S_12 минус F_1 плюс l \ctg бета правая круглая скобка косинус бета минус дробь: числитель: l, знаменатель: синус бета конец дроби =$
$= левая круглая скобка S_12 минус F_1 правая круглая скобка косинус бета плюс l левая круглая скобка дробь: числитель: косинус бета , знаменатель: синус бета конец дроби умножить на косинус бета минус дробь: числитель: 1, знаменатель: синус бета конец дроби правая круглая скобка =$
$= левая круглая скобка S_12 минус F_1 правая круглая скобка косинус бета минус l синус бета .$

Отрезок $CC в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка$ равен $CC в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка =M C в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка плюс M C,$ при $M C=x синус бета .$ Так,

$C C в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка =d левая круглая скобка x правая круглая скобка = левая круглая скобка S_12 минус F_1 правая круглая скобка косинус бета минус левая круглая скобка l минус x правая круглая скобка синус бета$

есть расстояние от источников до 2 линзы вдоль оптической оси.

Вторая линза, с фокусным расстоянием F₂  =  50 мм, будет переводить эти два источника в изображение на расстоянии от своего центра вдоль оптической оси по формуле тонкой линзы 2 линза переведет эти источники в изображения по формуле линзы

$d в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка левая круглая скобка x правая круглая скобка = дробь: числитель: d левая круглая скобка x правая круглая скобка F_2, знаменатель: d левая круглая скобка x правая круглая скобка минус F_2 конец дроби .$

Высота этих изображений относительно наклонённой оптической оси будет выражаться через высоту источников света для второй линзы $h левая круглая скобка x правая круглая скобка = левая круглая скобка x минус l правая круглая скобка косинус бета .$ Высота изображения для 2 линзы:

$h в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка левая круглая скобка x правая круглая скобка =h левая круглая скобка x правая круглая скобка дробь: числитель: d в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка левая круглая скобка x правая круглая скобка , знаменатель: d левая круглая скобка x правая круглая скобка конец дроби = левая круглая скобка x минус l правая круглая скобка косинус бета умножить на дробь: числитель: F_2, знаменатель: d левая круглая скобка x правая круглая скобка минус F_2 конец дроби .$

Эти изображения в свою очередь будут источниками для линзы объектива, и можно посчитать, на каком расстоянии от центра линзы объектива будут фокусироваться в итоге два луча. Для этого посчитаем расстояние от центра второй линзы до изображений в проекции на главную (ненаклонённую) оптическую ось:

Тогда расстояние от центра 2 линзы до изображения в проекции на главной оптической оси (исходную):

$d_0 в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка левая круглая скобка x правая круглая скобка =d в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка левая круглая скобка x правая круглая скобка косинус бета плюс h в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка левая круглая скобка x правая круглая скобка синус бета .$

Рис. 4

Здесь на рисунке 4 нарисовано изображение во второй линзе не в той конфигурации, в которой они находятся на самом деле. Изображение источников во второй линзе будут мнимыми, но данный рисунок позволяет верно и просто посчитать все зависимости, а мнимость-действительность изображений автоматически учтётся в формулах благодаря выбору разных знаков перед соответствующими величинами. Таким образом, мы можем получить расстояние от третьей линзы до изображений, образованных этой третьей линзой. Расстояние от источника для 3 линзы до центра 3 линзы: $d_0 в степени левая круглая скобка \prime \prime правая круглая скобка левая круглая скобка x правая круглая скобка =S_23 минус d_0 в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка .$ Тогда расстояние от 3 линзы до изображения

$d в степени левая круглая скобка \prime \prime правая круглая скобка = дробь: числитель: левая круглая скобка S_23 минус d_0 в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка правая круглая скобка умножить на F_3, знаменатель: S_23 минус d_0 в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка минус F_3 конец дроби .$

Для ответа на задачу необходимо посчитать расстояние между последними посчитанными изображениями: $d в степени левая круглая скобка \prime \prime правая круглая скобка левая круглая скобка минус x правая круглая скобка минус d в степени левая круглая скобка \prime \prime правая круглая скобка левая круглая скобка x правая круглая скобка .$ Для $x = F_1 альфа = 3,49 мм,$

$d= левая круглая скобка 150 минус 100 правая круглая скобка косинус 5 минус левая круглая скобка 2 минус 3,49 правая круглая скобка синус 55 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка =49,9396 мм,$

$d в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка = минус 41375,02 мм ,$

$h=1,4849 мм,$

$h в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка = минус 1230,2645 мм,$

$d_0 в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка = минус 41324,8 мм,$

$d_0 в степени левая круглая скобка \prime \prime правая круглая скобка =41424,8 мм,$

$d в степени левая круглая скобка \prime \prime правая круглая скобка =10,0024 мм.$

Для $минус x= минус F_1 альфа = минус 3,49 мм ,$

$d=49,33125 мм,$

$d в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка = минус 3688,3178 мм,$

$h= минус 5,4697 мм,$

$h в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка =408,95 мм,$

$d_0 в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка = минус 3638,6403 мм,$

$d_0 в степени левая круглая скобка \prime \prime правая круглая скобка =3738,6403 мм,$

$d в степени левая круглая скобка \prime \prime правая круглая скобка =10,0268 мм.$

Таким образом,

$d в степени левая круглая скобка \prime \prime правая круглая скобка левая круглая скобка минус x правая круглая скобка минус d в степени левая круглая скобка \prime \prime правая круглая скобка левая круглая скобка x правая круглая скобка =0,0244 мм \approx 24,4 мкм.$

Ответ: 24,4 мкм.

-------------
Дублирует задание № 7596.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии	Балл
Нарисована оптическая схема	2 балла
Посчитано, в каких точках располагается изображение каждого из пучков между двумя первыми линзами	3 балла
Посчитаны положения изображений лучей во второй линзы	По 3 балла за каждое из двух изображений
Посчитано расстояние вдоль оптической оси системы от изображений пучков во второй линзе до третьей линзы (точно или явно указано, что можно пренебречь наклоном из-за малых углов)	По 3 балла за каждое из двух изображений (из них по 1 баллу за каждое изображение, если не учтён наклон)
Посчитано расстояние между двумя изображениями в линзе объектива	2 балла
Дан ответ на задачу	1 балл

Всероссийская олимпиада школьников Высшая проба, 11 класс, 2 тур (заключительный), 2025 год

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь