сайты - меню - вход - но­во­сти


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 0 № 236
i

Об­на­ру­жив не­глу­бо­кое под­зем­ное круг­лое озеро ра­ди­у­са R  =  200 м уче­ные про­ве­ли вы­со­ко­точ­ные оп­ти­че­ские из­ме­ре­ния и уста­но­ви­ли, что кри­виз­на по­верх­но­сти воды в нем от­ли­ча­ет­ся от кри­виз­ны ра­ди­у­са Земли. При­чем так, что по­верх­ность воды в цен­тре озера рас­по­ло­же­на на \Delta h = 1 мм ниже во­об­ра­жа­е­мой сферы про­хо­дя­щей через края озера и име­ю­щей ра­ди­ус кри­виз­ны Земли. Эхо­ло­ка­ция по­ка­за­ла, что под озе­ром на­хо­дит­ся сфе­ри­че­ская не­од­но­род­ность по­ро­ды того же ра­ди­у­са, что и само озеро. Центр не­од­но­род­но­сти лежит точно под цен­тром озера, и своим вер­хом она ка­са­ет­ся озера (см. рис). Най­ди­те плот­ность ма­те­ри­а­ла не­од­но­род­но­сти, счи­тая, что плот­ность окру­жа­ю­щих пород равна сред­ней плот­но­сти Земли, \rho=5515 кг/м3. Ра­ди­ус Земли Rз  =  6400 км.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Не­од­но­род­ность дает ло­каль­ную до­бав­ку к век­то­ру уско­ре­ния g по ве­ли­чи­не рав­ную

a= дробь: чис­ли­тель: G M_ eff , зна­ме­на­тель: r в квад­ра­те конец дроби ,

где r  — рас­сто­я­ние от цен­тра линзы, а Meff опре­де­ля­ет­ся раз­но­стью плот­но­стей ма­те­ри­а­ла не­од­но­род­но­сти и окру­жа­ю­щих пород:

M_ eff = дробь: чис­ли­тель: 4 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби \Delta \rho R в кубе .

Сум­мар­ный гра­ви­та­ци­он­ный по­тен­ци­ал на по­верх­но­сти озера

 минус дробь: чис­ли­тель: GM_eff, зна­ме­на­тель: r конец дроби плюс gy=const\Rightarrow минус дробь: чис­ли­тель: GM_eff, зна­ме­на­тель: R ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та конец дроби =g\Delta h.

Пред­ста­вив уско­ре­ние сво­бод­но­го па­де­ния Земли в виде g= дробь: чис­ли­тель: 4 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби \rho G R_3 окон­ча­тель­но за­пи­шем

\rho_н=\rho плюс \Delta rho =\rho минус \rho дробь: чис­ли­тель: R_з\Delta h, зна­ме­на­тель: R в квад­ра­те конец дроби дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 1 минус 1/ ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та конец дроби =2500\; кг/м в кубе .

Ответ: 2500 кг/м3.

 

При­ме­ча­ние. Пе­ще­ра не вли­я­ет на уро­вень озера, т. к. из ри­сун­ка ясно, что она будет да­вать гра­ви­та­ци­он­ный по­тен­ци­ал бес­ко­неч­ной пла­сти­ны, т. е. за­ви­ся­щий толь­ко от ко­ор­ди­на­ты y. Под­зем­ность озера нужна в за­да­че для того, чтобы уче­ные могли про­во­дить пре­ци­зи­он­ные из­ме­ре­ния с его по­верх­но­стью  —  пе­ще­ра за­щи­ща­ет зер­ка­ло воды от ат­мо­сфер­ных яв­ле­ний.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии по за­да­ниюБаллы
Сде­ла­но утвер­жде­ние, что по­верх­ность жид­ко­сти яв­ля­ет­ся эк­ви­по­тен­ци­аль­ной 4
При­менён прин­цип су­пер­по­зи­ции для гра­ви­та­ци­он­но­го по­тен­ци­а­ла (или гра­ви­та­ци­он­но­го поля) 4
Най­де­на масса (от­ри­ца­тель­ная) по­ло­сти 4
На­пи­са­но урав­не­ние на эк­ви­по­тен­ци­аль­ность 4
По­лу­чен окон­ча­тель­ный ответ4
Классификатор: Ме­ха­ни­ка. Гра­ви­та­ци­он­ное вза­и­мо­дей­ствие