сайты - меню - вход - но­во­сти
СДАМ ГИАРЕШУ ЕГЭРЕШУ ОГЭРЕШУ ВПРРЕШУ ЦТ
Об олим­пи­а­дах
Ка­та­лог за­да­ний
Уче­ни­ку
Учи­те­лю
Школа
Ска­зать спа­си­бо
Во­прос — ответ


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 0 № 281
i

Из­вест­но, что для вы­во­да спут­ни­ка на опре­делённую ор­би­ту со­вер­ша­ют такой ал­го­ритм дей­ствий: сна­ча­ла его вы­во­дят на кру­го­вую око­ло­зем­ную ор­би­ту. Затем на ко­рот­кое время вклю­ча­ют пер­вый раз дви­га­тель, в ре­зуль­та­те чего спут­ник вы­хо­дит на эл­лип­тич­ную ор­би­ту. На­ко­нец, в точке мак­си­маль­но­го от­да­ле­ния эл­лип­ти­че­ской ор­би­ты от Земли ещё раз на ко­рот­кое время вклю­ча­ет­ся дви­га­тель, и спут­ник вы­хо­дит на кру­го­вую ор­би­ту. Счи­тай­те, что оба раза вклю­ча­ет­ся один и тот же дви­га­тель, у ко­то­ро­го тяга остаётся по­сто­ян­ной во вре­ме­ни, а из­ме­не­ни­ем массы спут­ни­ка можно пре­не­бречь. Оце­ни­те силу тяги дви­га­те­ля и дли­тель­ность его вто­ро­го вклю­че­ния, не­об­хо­ди­мую для того, чтобы выйти на гео­ста­ци­о­нар­ную ор­би­ту (ор­би­ту, на ко­то­рой пе­ри­од обо­ро­та равен 1 сут­кам). Из­вест­но, что в пер­вый раз ма­нев­ро­вый дви­га­тель вклю­ча­ли на 100 се­кунд. Спут­ник яв­ля­ет­ся спут­ни­ком связи типа ГЛО­НАСС.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Массу спут­ни­ка при­мем m  =  1000 кг. Рас­смот­рим пер­вое вклю­че­ние дви­га­те­ля. Силу его тяги надо на­прав­лять по на­прав­ле­нию дви­же­ния спут­ни­ка. Ско­рость спут­ни­ка на око­ло­зем­ной ор­би­те равна

v_0= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: альфа , зна­ме­на­тель: R_3 конец ар­гу­мен­та конец дроби ,

где по­тен­ци­аль­ную энер­гию в поле тя­же­сти Земли мы за­пи­са­ли в виде U= минус m альфа / r, а ра­ди­ус око­ло­зем­ной ор­би­ты при­мем рав­ным R3  =  6700 км. Кон­стан­ту альфа (если за­бы­та масса Земли) можно найти из усло­вия, что на по­верх­но­сти Земли (мы пре­не­бре­га­ем раз­но­стью между ра­ди­у­сом Земли и ра­ди­у­сом око­ло­зем­ной ор­би­ты) уско­ре­ние сво­бод­но­го па­де­ния равно из­вест­ной ве­ли­чи­не g  =  10 м/с2:

дробь: чис­ли­тель: альфа , зна­ме­на­тель: R_3 в квад­ра­те конец дроби =g,

альфа =g R_3 в квад­ра­те ,

v_0= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: g R_3 конец ар­гу­мен­та =8км/ c.

Пол­ная энер­гия спут­ни­ка, пока он на­хо­дит­ся на око­ло­зем­ной ор­би­те, равна E_0= минус m альфа /2R_3=mv_0 в квад­ра­те /2. Для того, чтобы эл­лип­ти­че­ская ор­би­та имела апо­гей на рас­сто­я­нии R_r=42'000 км от цен­тра Земли (ра­ди­ус гео­ста­ци­о­нар­ной ор­би­ты), надо, чтобы пол­ная энер­гия спут­ни­ка стала рав­ной E_1= минус m альфа /2a, где a — длина по­лу­оси эл­лип­ти­че­ской ор­би­ты. Оце­нить эту длину можно так, что 2a=R_r, по­сколь­ку Rr зна­чи­тель­но пре­вы­ша­ет R_3. Зна­чит, при пер­вом вклю­че­нии ма­нев­ро­во­го дви­га­те­ля ки­не­ти­че­ская энер­гия спут­ни­ка долж­на из­ме­нить­ся на E_1 минус E_0, то есть ско­рость сразу после вы­клю­че­ния дви­га­те­ля долж­на удо­вле­тво­рять урав­не­нию

дробь: чис­ли­тель: m, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби левая круг­лая скоб­ка v_1 в квад­ра­те минус v_0 в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка =E_1 минус E_0,

или при­ближённо (пре­не­брежём E_1 по срав­не­нию с минус 2E_0)

v_1= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та v_0.

Ра­бо­та дви­га­те­ля с тягой F в те­че­ние t_1=100 с при­ве­ла к из­ме­не­нию им­пуль­са дви­га­те­ля

F t_1=m левая круг­лая скоб­ка v_1 минус v_0 пра­вая круг­лая скоб­ка =m левая круг­лая скоб­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка v_0 \approx 0,4 v_0, то есть F= дробь: чис­ли­тель: m левая круг­лая скоб­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка v_0, зна­ме­на­тель: t_1 конец дроби \approx 30Н.

Пе­рейдём те­перь к рас­смот­ре­нию вто­ро­го вклю­че­ния ма­нев­ро­во­го дви­га­те­ля. В ре­зуль­та­те этого вклю­че­ния надо до­бить­ся, чтобы ско­рость спут­ни­ка стала рав­ной

v_3= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: альфа , зна­ме­на­тель: R_ r конец ар­гу­мен­та конец дроби =v_0 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: R_3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: R_ r конец дроби =0,4 v_0.

При этом ско­рость не­по­сред­ствен­но до вто­ро­го вклю­че­ния равна

v_2= дробь: чис­ли­тель: R_3, зна­ме­на­тель: R_\Gamma конец дроби v_1=0,16 v_0,

по­сколь­ку мо­мент им­пуль­са при бал­ли­сти­че­ском дви­же­нии по ор­би­те со­хра­ня­ет­ся (вто­рой закон Кепле­ра). Таким об­ра­зом, время вто­ро­го вклю­че­ния дви­га­те­ля t_2 (его тяга снова долж­на быть на­прав­ле­на по дви­же­нию спут­ни­ка) опре­де­ля­ет­ся из усло­вия F t_2=m левая круг­лая скоб­ка v_3 минус v_2 пра­вая круг­лая скоб­ка =0,24 v_0, то есть t_2 \approx 60с.

 

Ответ: F= дробь: чис­ли­тель: m левая круг­лая скоб­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка v_0, зна­ме­на­тель: t_1 конец дроби \approx 30Н; t_2 \approx 60с.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии по за­да­ниюБаллы
По­лу­че­на пер­вая кос­ми­че­ская ско­рость1
По­лу­чен ра­ди­ус гео­ста­ци­о­нар­ной ор­би­ты 1
За­пи­са­ны ки­не­ти­че­ская и по­тен­ци­аль­ная энер­гия спут­ни­ка4
Пра­виль­но опре­де­ле­на по­лу­ось эл­лип­ти­че­ской ор­би­ты2
По­лу­че­на ско­рость после пер­во­го им­пуль­са4
Вы­чис­ле­на тяга дви­га­те­ля1
По­лу­че­на ско­рость спут­ни­ка в апо­гее3
По­лу­че­на ско­рость спут­ни­ка на гео­ста­ци­о­нар­ной ор­би­те1
Опре­де­ле­на дли­тель­ность вто­ро­го им­пуль­са3
Классификатор: Ме­ха­ни­ка. Гра­ви­та­ци­он­ное вза­и­мо­дей­ствие
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2024