сайты - меню - вход - но­во­сти


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 21 № 6067
i

Два по­тре­би­те­ля элек­три­че­ства, Сова и Жа­во­ро­нок, под­клю­че­ны по­сле­до­ва­тель­но в цепь с ис­точ­ни­ком по­сто­ян­но­го на­пря­же­ния. У каж­до­го из по­тре­би­те­лей име­ет­ся толь­ко один при­бор, по­треб­ля­ю­щий элек­тро­энер­гию  — оди­на­ко­вые рео­ста­ты, со­про­тив­ле­ние ко­то­рых может ме­нять­ся в любых пре­де­лах. В одну ночь оба рео­ста­та имели одно со­про­тив­ле­ние, каж­дое из ко­то­рых было в 10 раз боль­ше внут­рен­не­го со­про­тив­ле­ния ис­точ­ни­ка. Жа­во­ро­нок, проснув­шись рано утром, решил уве­ли­чить своё энер­го­по­треб­ле­ние, пока Сова ещё спала. Ис­поль­зуя рео­стат, он до­бил­ся мак­си­маль­но­го зна­че­ния сво­е­го энер­го­по­треб­ле­ния. Затем позд­ним ве­че­ром, когда Жа­во­ро­нок уже за­снул, Сова об­на­ру­жи­ла из­ме­не­ние сво­е­го энер­го­по­треб­ле­ния и в свою оче­редь про­ве­ла его мак­си­ми­за­цию ре­гу­ли­ров­кой сво­е­го рео­ста­та. После этого ещё два утра и два ве­че­ра Жа­во­ро­нок и Сова по оче­ре­ди по­вто­ря­ли мак­си­ми­за­цию сво­е­го энер­го­по­треб­ле­ния. Во сколь­ко раз в итоге из­ме­ни­лось энер­го­по­треб­ле­ние Совы и Жа­во­рон­ка по срав­не­нию с ночью до на­ча­ла всех ре­гу­ли­ро­вок?

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Пусть со­про­тив­ле­ние Совы равно Rс, со­про­тив­ле­ние Жа­во­рон­ка  — Rж, а внут­рен­нее со­про­тив­ле­ние ис­точ­ни­ка пи­та­ния равно еди­ни­це. На­пря­же­ние на ис­точ­ни­ке равно U. По усло­вию, до из­ме­не­ний со­про­тив­ле­ний обоих R_с0 = R_ж0 = 10, так что энер­го­по­треб­ле­ние каж­до­го W0 было

 W_0= дробь: чис­ли­тель: U в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: левая круг­лая скоб­ка 1 плюс R_ c 0 плюс R_\text ж 0 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те конец дроби R_\text ж0 = дробь: чис­ли­тель: 10, зна­ме­на­тель: 441 конец дроби U в квад­ра­те .

Когда Жа­во­ро­нок провёл мак­си­ми­за­цию сво­е­го энер­го­по­треб­ле­ния, он уста­но­вил своё со­про­тив­ле­ние на зна­че­нии R_ж1 = 1 плюс R_с0 = 11. Дей­стви­тель­но, нам надо найти мак­си­мум вы­ра­же­ния (1) по Rж0. Если крат­ко, то нам надо найти мак­си­мум вы­ра­же­ния

f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: левая круг­лая скоб­ка a плюс x пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те конец дроби

по x. Пусть этот мак­си­мум равен M. Тогда раз­ность

 M минус f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: M x в квад­ра­те плюс левая круг­лая скоб­ка 2 a M минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка x плюс a в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: левая круг­лая скоб­ка a плюс x пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те конец дроби

не­от­ри­ца­тель­на и об­ща­ет­ся в нуль толь­ко в одной точке, ко­то­рая есть по­ло­же­ние мак­си­му­ма функ­ции f(x). Зна­чит, чис­ли­тель (2) есть пол­ный квад­рат, то есть мак­си­мум M и по­ло­же­ние мак­си­му­ма xmax равны

 M= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 a конец дроби , \quad x_\max =a.

Те­перь можно про­дол­жить по­сле­до­ва­тель­ность:

R_с1 = 1 плюс R_ж1 = 12,

R_ж2 = 1 плюс R_с1 = 13,

R_с2 = 1 плюс R_ж2 = 14,

R_ж3 = 1 плюс R_с2 = 15,

R_с3 = 1 плюс R_ж3 = 16.

В итоге ко­неч­ные энер­го­по­треб­ле­ния Жа­во­рон­ка и Совы ока­жут­ся рав­ны­ми

 W_\text ж3= дробь: чис­ли­тель: R_\text ж3 U в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: левая круг­лая скоб­ка 1 плюс R_ж 3 плюс R_ c 3 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те конец дроби , \quad дробь: чис­ли­тель: W_\text ж3 , зна­ме­на­тель: W_0 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 1323, зна­ме­на­тель: 2048 конец дроби \approx 0.66;

 W_с3= дробь: чис­ли­тель: R_с3 U в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: левая круг­лая скоб­ка 1 плюс R_ж 3 плюс R_с3 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те конец дроби , \quad дробь: чис­ли­тель: W_с3, зна­ме­на­тель: W_0 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 441, зна­ме­на­тель: 640 конец дроби \approx 0.69,

то есть в про­иг­ры­ше оста­лись оба, но за­чин­щик  — Жа­во­ро­нок  — по­стра­дал не­мно­го боль­ше.

 

Ответ:  дробь: чис­ли­тель: W_\text ж3 , зна­ме­на­тель: W_0 конец дроби \approx 0,66;  дробь: чис­ли­тель: W_с3, зна­ме­на­тель: W_0 конец дроби \approx 0,69.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

По­лу­че­но энер­го­по­треб­ле­ние перед пер­вой ночью4 балла
Най­де­но со­про­тив­ле­ние, ко­то­рое уста­но­вил жа­во­ро­нок, чтобы мак­си­ми­зи­ро­вать свое энер­го­по­треб­ле­ние9 бал­лов
Най­де­ны со­про­тив­ле­ния, ко­то­рые по­оче­ред­но уста­нав­ли­ва­ли жа­во­ро­нок и сова в остав­ши­е­ся дни

4 балла
По­лу­чен ответ3 балла
Классификатор: Элек­тро­ди­на­ми­ка. Ра­бо­та и мощ­ность элек­три­че­ско­го тока